Anwendung de^ -sogenannten Vwiationncalcul' -s auf zweifache lond, dre fache Integrale. 45 



dßz , d, 



. d I (•/» . fiz^ -X- 'iot . riz . 

 dy 



r d öz , cL Oz - ^ 



.d^[co.dz^^2co'.dz.-^+<o''.[-^)] 



, d d 8z d 8z d^8z ,2 



+ * • (iTJ- + 33" ^ + 33'" ^ + 33"" . dz) 



^ dx.dy dy dx f 



, d 8z d 8z ^2 



+ 35 . (^ + ®' ^ + 2)" . dz] 



^ dy dx J 



bringen. Wenn man aber XVII mit XVI vergleicht, so bekommt man nur zehn Bestim- 

 mungsgleichungen, während siebzehn unbestimmte Stücke, nämlich 



und 



S , «" , 33"' , 33"" , © , ©' , ^" , ® , ®' , g 



vorhanden sind, so dass sieben derselben willkürlieh bleiben. 



Nun ist 33 = E,, d. h. das in der neuen Form XVII befindliche Stück S ist durch das 

 in der ursprünglichen Form XVI enthaltene Stück Ej vollständig bestimmt; und somit darf 

 man die oben besprochene Willkürlichkeit auf 33 nicht anwenden. Man benütze dieselbe aber 

 dazu, dass man vorerst folgende sechs Stücke 



25 , ®' , ©" , ® , ®' , 8 



zu Null werden lässt. Dann hat man immer noch die zehn Stücke 



A , rj , £ , s" . CO , 0)' T (o" , 33" , 35'" , 33"" 



von welchen noch eines willkürlich ist. Verfährt man weiter wie in §. 16, so kommt man 

 zu der Erkenntniss, dass der Zeichenstand des o" fJ jetzt von iB = Ej allein abhängig ist. 



Untersuchung 3. 



§• 21. 

 Es sei IFein reeller, mit den Bestandtheilen 



d^z d_^z dlz dß,jZ d^s d^w d,^w 



versehener, Ausdruck ; und man sucht für z und für w solche Functionen von x und y, dass 

 dabei folgendes Integral 



a ß 



I) U~ffw.dy.dx 



a b 



wo b und ß keine Functionen von x sind, ein Maximum oder Minimum wird. 

 Man bezeichne zur Abkürzung die zu den Differentialquotieuten 



djz d^8z dl8z iJ^^^^" 4^^ , "^x^"" ^Z"' 



'd^ ' 'll^ ' ~d^ ' dx.dy ' dy^ ' dx ^ dy 



gehörigen Factoren bezüglich mit 



