Anioendung des sogenannten Variationscalcul's auf zweifache und dreifache Integrale. 51 



Weise angezeigt werden. Dazu mag der griecliisclie Buchstabe «9 dienen; und man wird die 

 den verschiedenen Ordnungen entsprechenden Werthänderungen eines Veränderlichen a durch 



&Si , {ßsi , ifa , t^^a , etc. 

 darstellen. Auf diese Weise bekommt man 



II) ,W =f{W,^^ . Sa - W^^,yß^) . dy ^r f{W^^,.f9ß— W,,,.>9b).dx 



a ß 



^+ffdW. dy . dx 



a b 



III) d-U=2 W^^^,.9a.ßß^2 Tr„ , .ßa . ,9b — 2W,^^,.&a . >9ß -^ 2W,^, . &:x . f^b 



b 



— TF,,,.*^a-2.oW,,„..9a-(=^) .ß^'^dy 



i/ L " X , 3 



a 



a ß 



+ ff d- W. dy . d: 

 Hier ist 



d w dW ddz d^W d3z d^W d-jz 

 IV) dW=^.dz + ^.^ + ^. J^ + ^.^ + 



' dz dp dx dq dy dr dx^ 



d W d W d d-^z d W d 3-z d W dlä^z 



V) d'W= -^ . ,fz + ^- . -^_ + -^^ . -^ +^.^+ 



' dz d}) dx dq dy dr dx- 



i?W dd W drU d,d^V dj: 



— - . dz' + 2 . — - — . dz . + 2 . — — — . oz . — \- . . . 



dz^ ' dz. dp dx ' dz. dg dy 



dlV d W d W dz d W dU d\V ddz 



VI) =^^ = — L A^ . ^ 4. JL^ . _f_ + .^— . ^J- 4- ■ 



dx dx dz dx dp dx- dq dx.dy 



d W d W d W d z d W ddz dJV d'z 



VII) JL^ = JL L ^ . J!_ + -£— . -^JL- ^J^.-JL_^ 



dy dy dz dy dp dx.dy dq dy- 



In den Gleichungen II und III müssen die mit den zweifachen Integralzeichen versehenen 

 Theilsätze noch so umgeformt werden, wie bereits bei den drei vorigen Untersuchungen 

 geschehen ist. 



Dabei beachte man, dass die nach y auszuführenden Integrationen ganz unabhängig 

 sind von iJa, »5<«, *-a, i9a, etc., und dass eben so die nach x auszuführenden Integrationen 

 ganz unabhängig sind von?96, ßß, S'-b^ 'fß, etc. Man kann also diese Werthänderungen, 

 so oft es zweckmässig ist, auch ausserhalb der Integralzeichen setzen. 



Um jedoch von den mancherlei Eigenthümlichkeiten , die dabei vorkommen können, 

 einige zu erledigen, mögen noch zwei specielle Untersuchungen nachfolgen. 



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