52 G. W. Strauch. 



Untersuchung 5. 

 §• 24. 



Es sei PF ein reeller, mit den Bestandtheilen x , u . z , ^— , — - versehener Ausdruck; 



und man sucht, während die Werthe von b und ß bestimmt sind, für z eine solche Function 

 von X und ?/, und zugleich für a und a solche Werthe, dass folgendes Integral 



a ß 



I) U = ff W . dy . dx 



ein Maximum oder Minimum wird. 



Weil diesmal die Werthe von h und /? bestimmt sind, so ist )'Jb = 0, &ß^0, &''b^=0, 

 ?9'-/? = 0, etc.; und desshalb fallen alle mit i9b , &ß , &-b , ff- ß etc. behafteten Theilsätze der 

 in voriger Untersuchung befindlichen allgemeinen Formeln hinweg, d. h. man bekommt 

 diesmal nur 



II) <?r= r[n;,„ . /y« + (i^-),^,^ . r;3„,„ — ii;,„ . .u — {ix)^^„ . j^,.,] . d^ 



n 

 a 



^ rr^AI _i£l_i£!L^ . 3z . dy . dx 



J J V dz dx dy ' 



a i 



Daraus folgt zunächst die Hauptgleichung 



d^ W djlx) djly) _ 



' dz dx dy 



welche in der Regel eine Partialdifferentialgleichung der zweiten Ordnung sein wird, so dass 

 in ihr allgemeines Integral zwei willkürliche Functionen eingehen. 



Man hat also diesmal wieder dieselbe Hauptgleichung, wie in der ersten Untersuchung, 

 wo alle Integratiousgränzen constant waren. 



Mit Berücksichtigung der Hauptgleichung bekommt man ferner 



rr d W djz d, 5z 



IV) <P U=J[W.,, . 'r~a + 2.[-^3z+ (Ix) -^ + (I^) -^].,, . ßa 



a , y J 



a 



+ /[(Lr),,^ . <?'s^,^ + w,,^ . dz;^^ — (I?/)^,* . ^z,^, — m, , . dz\^^ . d 



a 

 r rr , d dz dJz 2 dJz .2 -, 



x 



X 



