Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zweifache und dreifache Integrale. 53 



während, wie mau aus der 1"=" Untersuchung weiss, zwischen rj und w der durch folgende 

 Partialdifferentialgleicliung 



^^)(F— ;^-^)-(AC-B^) = A.(E-^r_2ß.(E-:y).(r)-«,) + C.(I)-a>r 



ausgesprochene Zusammenhang stattfinden muss. 



Nun ist man auf dem Punkte, der Gränzengleichung zu genügen: und zn diesem Ende 

 mögen folgende zwei Fälle vorgenommen werden. 



§• 25. 



Erster G ranz fall. Wenn für die Gränzen durchaus keine Vorschriften gemacht sind 

 so ist es zweckmässig, der Gränzengleichung folgende Form 



VI) [jW,,,„ . dy) . &a-{fw.^ „ . dy ] . ,9a 



Ä a 



ZU geben. Aber eben , weil für die Gränzen keine Vorschriften gemacht sind , so sind auch 

 die sechs Bestandtheile 



i'/a . *a . dz^„ , oX „ , f)Z^_^ , oX,^ 

 ganz unabhängig von einander, und Gleichung VI zerlegt sich in folgende einzelne: 



VII) (I.r),,„ = , vni) (Ix),,,, = , IX) (T?/L,,j = , X) (ly),,,, = 



und 



XI) fw„ , „ . dy = , XII) r TF, . ,, . dy = (). 



In den Gleichungen VII und VIII ist x constant; sie sind aber nach y identisch, und 

 müssen, wenn sie Differentialgleichungen sind, als totale Differentialgleichungen nach y be- 

 handelt werden. 



In den Gleichungen IX und X isty constant; sie sind aber nach x identisch, und müssen, 

 wenn sie Differentialgleichungen sind, als totale Differentialgleichungen nach x behandelt 

 werden. 



Man substituire jetzt die für z gefundene allgemeine Function in die Gleichungen 

 VII, VIII, IX, X, und integrire dieselben als totale Differentialgleichungen. Erst die so 

 erlangten vier Integralgleichungen können benützt werden zur Specialisirung der in z ein- 

 gegangenen zwei willkürlichen Functionen. 



Hierauf substituire man die so specialisirte Function z in die Gleichungen XI und XII, 

 und benütze diese Ergebnisse zur Bestimmung der festen Werthe, welche man den Bestand- 

 theilen a und a beilegen muss. Man sieht aber, dass diese zwei Gleichungen einander einerlei 



