Anwendimg des sogenannten VariationscahuV s auf zweifache und dreifache Integrale. 55 



J a, y 



Nun fragt sich: unter welchen Umständen bleibt d' U immer positiv oder negativ? 

 Diese Frage beantwortet sich auf folgende Weise: Wäre in Gleichung XVITI das Aggregat 



nicht vorhanden, so würde man sofort erkennen, dass 



1) das fT' U positiv ist, wenn die vier Ausdrücke ( — ) , ( — ===) ^ -l '"id 3) 



zugleich positiv sind; dass dagegen 



2) das ö- U negativ ist, wenn diese vier Ausdrücke zugleich negativ sind. 



Weil nun die Gleichung XVII nur den einzigen Partialdiiferentialquotienten -^ 



enthält, so bekommt man durch deren Integration für y^ einen aus x , ?/ , tt (?/) zusammenge- 

 setzten Ausdruck, wobei ;r(2/) eine ganz willkürliche Function von y ist. Aber eben diese in 

 r^ enthaltene Avillkürliche Function 7r(?/) kann man nach der bald so bald so beliebig genom- 

 menen Function dz auch jedesmal bald so bald so einrichten, dass das Aggregat XIX 

 identisch zu Null wird. 



Hiermit erkennt man, dass es in der That von den vier Ausdrücken 



.d w. , d w. 



a , v a , y 



abhangt, ob ein Maximum oder Älinimum vorhanden ist. 



§. 26. 



Zweiter GränzfalP. Man soll unter allen in Betracht zu ziehenden Functionen 

 z = ^(x ^y) diejenige herauswählen, welche bei a; = a und bei x^:=a bezüglich mit 



XX) c =f(x , y) und XXI) ^ = f (a- , ?/) 



zusammenfällt. 



Dieses Zusammenfallen ist dargestellt durch die Gleichungen 



' Eine, auf diesen Gränzfall bezügliche, geometrische Aufgabe ist folgende: „Man sucht zwischen zwei in festen Punkten der 

 „Axe Y senkrechten Ebenen und zwischen zwei gegebenen Flächen die kleinste Oberfläche unter allen denen heraus, von 

 „welchen die zwei gegebenen Flächen nach einfach gekrümmten Curven geschnitten werden, die so gelegen sind, dass 

 „deren Ebenen auf der Axe X senkrecht stehen." 



