Amvendtmg des sogenannten VariationscalcuVs a,uf zioeifaclie und dreifache Integrale. 57 



|'[TF,,,.*«+(I.T),,,.J.i',.„-n^,,,.*a-(I^-)a,.-'>X,J-'^i/ 



A 



(I//1, ^-^X,,}— (ly)., . • öX, *] .dx = ^ 



las.'^en: und wenn man oz^ ,, und c^.r^.„ climiuirt, so geht letztere Gleichung über in 



/[["'+ (p'-2^) • (T-^-jL,, ■ no.-{W^ {p'-v) ■ (r^)]a,, • '•^^] ■ <'/ 



Diese Gleichuno' zei^le^-t sieb aber ohne weiters in folii'ende vier: 



XXXIV) W,^„ + (p'_p)^^^ . (Ix%_„ ^ , XXXV) (I?/).,,j = Ü 



XXXVI) tf;,„ + ip'—p).., ■ (i^)a.„ -- , XXXVII) {ly)^,, = 



Man substituire jetzt die für z gefundene allgemeine Function in diese vier Glei- 

 cluingen , und integrire sie als totale Differentialgleichungen. Erst die so erlangten vier 

 Integralgleichungen können benützt Averden zur Specialisirung der in z eingegangenen zwei 

 willkürliehen Functionen. 



FLierauf substituire man die so specialisirte Function z = (f(x..y) in XXII und XXIU, 

 und bestimme die Werthe von a und a. Das dabei anzuwendende Verfahren ero-ibt sich aus 

 folgender Betrachtung: 



1. Gleichung XXII ist eine nach y identische. Desshalb sind auch alle ihre Differential- 

 gleichungen nacji y identisch, und der Werth des a ist unabhängig von y. Man nehme daher 

 die Gleichungen XXII und XXVI und climinire y\ so ergibt sich eine von ?/ befreite Glei- 

 chung, wo aber noch der unbekannte Bestandtheil a vorkommt. Aus dieser neuen Gleichung 

 kann man also a bestimmen. 



2. Verbindet man ebenso die Gleichungen XXIII und XXVII, so gelangt man zur 

 Bestimmung des a. 



Sollten sich jedoch für a und a keine Werthe ergeben, die von y unabhängig sind, und 

 gleichzeitig der Bedingung « > a genügen; so ist dieser zweite Gränzfall unzulässig. 



Mit Hilfe der Gleichungen XXVI und XXVII lassen sich die Gleichungen XXXIV und 

 XXXVI öfters vereinfachen, was z. B. der Fall sein kann, wenn man statt der Potenzen 



(dz'- d s '' 



-''-) und "0 



die bezüo-lich gleicho-eltenden Producte 



V dii ) ' \ dti J y dij }„ ' V d,i } 



setzt. Dadurch werden die Gleichungen XXXIV und XXXVI gewöhnlich eine symmetrische 

 Gestalt annehmen, und sich, wenn die Aufgabe eine geometrische ist, auch auf einfache 

 Weise geometrisch deuten lassen'. 



Für die. in vorigpr Anmerkung gestellte, geometrische Aufgabe würden die auf besagte Weise umgestalteten zwei Gleichungen 

 XXXIV und XXXVI die Bedeutung haben, dass die gesuchte Fläche auf den gegebenen Granzflächen senkrecht steht. 



Deiik-schrifteii der niatliem.-naliirw. Cl. XVI. Lil, Abli.aniU. v. Niclitmitgl. 



