Anwendmig des sogenannten Variationscahut s auf zweifache und drefache Integrale. 59 



Weil diesmal für die vier Integrationsgränzeu a , « , 6 , /9 bestimmte Werthe gesiudit 

 werden, so kommen diesmal auch die Formeln des §. 23 vollständig zur Anwendung; und es 

 mögen, wie in der vorigen Untersuchung, zwei verschiedene Gränzfälle aufgestellt und 

 durchgeführt werden. 



§■ 28. 



Erster (t ranz fall. Wenn für die Gränzen durchaus keine Vorschriften gemacht 

 sind, so ist es zweckmässig, der Gränzengleichung folgende Form 



11; (/";,. • 'hi)Ha--[fw^„ . c7;/).*a 4- (JtF,,, . d,-)j,ß~[Jw,„. d.r]. Hb 



-1. a 



zu gelxMi. Diese zerlegt sich aber ohne weiters in folgende acht einzelne Gleichungen: 



,3 ^ a a 



lll] J\V^„.dy = {) , i\) fw,_„.dy = () , \-) I^W^_^.dx = , VI) /in,, dx=^() 



I, " I, "a "a 



VII) (l,r),,„ = () , VIII) (I^),,„ = , IX) (h/),,^ = () , X) (I?/),,, = 0. 



Die vier Gleichungen VII — X dienen, wie man aus der vorigen Untersuchung weiss, 

 dazu, inn die durch Integration der Hauptgleichung eingegangenen zwei willkürlichen Func- 

 tionen zu specialisiren. Sodaini wer(k=>n die vier Gleichungen III — VI dazu benutzt, um 

 die für a , a . b . ß gesucJifen Werthe zu bestimmen, welche aber der Bedingung 



« > a und ß > b 



tienüii-en nn'issen. Wenn man nun die bei III und IV angezeioten luteffrationen ausfüln't. so 

 nehmen diese zwei Gleich uno-en*bezüo-lich folgende Form 



o o o 



XI) F (./,/?) — F [a.b) = , und XII) F (a,/5) — F (a,^.) = 



an: und wenn man ebenso bei V und VI die angezeigten Integrationen ausführt, so nehmen 

 diese zwei Gleich unnen bezüeflich folo'ende Form 



XIII) g («,/?) — % (a,/?) = ü , und XIV) g {a,h) — % (a,6) = U 



an. Die Gleichungen XI und XII sind aber einander einerlei, d. h. sie unterscheiden sich 

 nur dadurch, dass da, wo in der einen das a, in der andern das a steht. Ebenso sind die 

 Gleichungen XIII und XIV einander einerlei, d. h. diese unterscheiden sich nur dadurch. 

 dass da, wo in der einen das /?, in der andern das b steht. Somit sind diese, durch Integra- 

 tion erzeugten, vier Gleichungen nicht geeignet, drei der vier Unbekannten a, a,h , ß 7a\ 

 eüminiren, und eine i:ur nnt einem einzigen Unbekannten versehene neue Gleichung her- 

 zustellen. 



Man muss also, um für die vier Unbekannten a , ot , b , ß die geeigneten Werthe zu er- 

 mitteln, ein anderes Verfahren anwenden; und dieses besteht, wie man so eben erkannt hat, 



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