Ä/noendung des ungenannten Variationscalcur s auf zweifache und dreifache Integrale. 63 



§. 29. 



Zweiter GränzfalP. Man soll unter allen in Betracht zu ziehenden Functionen 

 z^<f{x.,il) diejenige herauswählen, welche bei x=-a, bei .r = r/.. beiy^Aund bei// = y5 

 bezüglich mit 



XXXVII) e' — /' {x . t/) . XXXVIII) / = f O^" . .'/) 

 XXXIX) c" =f" (a- . //) , XL) ;-" ^ f (.'• . //) 



zusammenfallt. 



Dieses Zusammenfallen ist dargestellt durcli die vier Gleichungen 



XLI) ^n [a , i/) =f {n, l/) , XLII) 9?(«,.y)=f'(r/,;//) 



XLIII) <p {x , b) =f" (x , b) . XLIV) ^{x,ß)^^"{x,j3) 

 Die Gränzengleichung ist jetzt folgende: 



XLV) r[(I^)„,„.«X_„ + IF:,,„./y«-(I.r),,,,«X,,-^n,.„.''^aJ../y/ 

 •i 



a 



a 



Man setze zur Abkürzung 



bezüglicli statt 



Ebenso setze man 



p , q' , r , .s' ,t: , p' , q' , r' , 8' , t' , p" , q" , /' , s" , t" , p" , q" , r" , s" , t" 

 statt der betreffenden Partialdifferentialquotieiiten, welche sich bezüglich aus 



c =/(«:,//) , r' = fO^-,.'/) , c:'=f"{x,y) , r" = f"C^--.y) 



ergeben. Hierauf behandle man Gleichung XLV nach dem Vorgänge des zweiten Gränz- 

 falles der vorigen Untersuchung, so zerlegt sich die Gränzengleichung diesmal in folgende 

 vier einzelne: 



XLVI) W,^„ — {p>'~p)^,„.{lx)„,„^0 , XLVII) TF„,„— (p'-_^^)„,„.(I.r)„.„ = 



XLViii) Tl^,. -(?"-?).,. .(Ij/).,.-o , XLIX) W^,,-{c\'-gh,,.(ly).,, = o 



' Eine, auf diesen üränzfall bezügliclie. geometrisclie Aulgalje ist folgende: „Man suolit zwischen vier gegebenen Fläolien die 

 „kleinste Oberfläche unter allen denen heraus, von welchen jene (die vier gegebenen ncmlich) nach einfach gekrümmten Curven 

 „geschnitten werden , die in zwei Paar parallelen Ebenen liegen, wovon das eine Paar auf der Axe X. das andere Paar auf 

 „der A.xe Y senkrecht steht". 



