Anwendung des sogenannten VariationscalcuT s auf zweifache und drefache Integrale. 6 ' 



Zweiter Abschnitt, 



wo solche Integrale vorkommen, bei denen die Gränzen der ersten Integration Functionen jenes Veränder- 

 lichen sind, nach welchem die zweite Integration ausgeführt werden soll. 



Untersuchung 7. 

 §. 30. 

 Es sei IT ein reeller, mit den Bestandtheilen 



d^z d^z dlz d^d^z d^z d^z 



'■^'^ '^■>lü ' 77' 'd^ ' "d^ ' ü^ ' "dl^ ' 



versehener Ausdruck, und man sucht für z eine solche Function von x und y, dass folgendes 

 lutee'ral 



ö* 



I) U = f fw.dy .dx 



wo y' und y" Functionen von x sind, ein Maximum oder Minimum wird. 



Die Werthe von a und a sind als constant zu betrachten, jedoch mit der Rücksieht, dass 

 «> a. 



So oft es zweckmässig ist, soll h{x) statt y' und ß{x) statt y" geschrieben werden, 

 namentlich dann, wenn das x einen specicllen Werth annimmt. Auch müssen die beiden 

 Functionen y' und ?/" in solcher Beziehung zu einander stehen, dass bei keinem einzigen der 

 von a bis a stetig neben einander liegenden Werthe des x die Differenz y" — y' negativ wird: 

 und dieses gilt namentlich auch für die beiden Differenzen 



ß (a) — b (a) und ß («) — b («) 



Man beachte durch die ganze Untersuchung, dass das vor dem Diffe- 

 rential dy stehende y noch keine Function von x ist; sondern die Func- 

 tionen y' und y" treten erst an die Stelle des y, wenn nach y integrirt 

 w o r d e n i s t. 



Wenn man auch hier die in der zweiten Untersuchung vorgeschlagenen Abkürzungs- 

 zeichen anwendet, so bekommt man 



^7-T r r\'^ w d'U djz 



11) dü^JJ [--dz + {lx)^+ {ly)^ + (llx^) 



a >f' 



d dfJz dffJz ^ d^dz -1 



d-äz 

 ~dx'i 

 d'äz 



S- :^l- 

 Um diesen Ausdruck weiter umformen zu können, nniss man, wie aucli in den drei 

 ersten Untersuchungen' geschehen ist, vorerst das unter dem zweifachen Integralzeichen 

 stehende Aggregat in folgende vier Tlieile umsetzen: 



' Man sein? P.leioluing Ul in §. 8, (ileicliung III in §. I '> iiml (ilcii'lmii!; 11 in §. •Jl- 



