Anwendung des sogenannten Variation scalcurs auf zweifache und dreifache Integrale. 71 



d^W djlx) djhj) 

 ' dz dx dy 



welches dieselbe ist. wie in der ersten Untersuchung, wo alle vier Integrationsgränzen con- 

 stant waren. Als Gränzengleiehung aber hat man diesmal 



/J(a) /J(a) 



VI) j (I .t)„ , „ . dz„^„ . dy —J (I x), , „ .flz.,^ „ . dy 



Ha) «(a) 



a 



+ f [(Ij/).../' - a^L.r ■ ~) • ^^...'-{a^l,, - (I^).,. ■ 1^) • r)z^,,].dx^-0 



Auch hier hat man, wie in der vorigen Untersuchung, da, wo .r die speciellen Werthe a 

 ui\(l a angenommen, ß(x) und b[x) bezüglich statt y und y' gesetzt. 



Berücksichtigt man die Hauptgleichung, so bekommt man für das Prüfungsmittel 



Y II, ,r U= I [{lx)„^„ . r)- z, , „ + rj„ , „ . J,-4 , ,J . dy 



' /' (a) 



m^d dz d liz .- -rf i~iz '--\ 



^x,.," 



Man ist nun auf dem Puncte, der Gränzengleichimg zu genügen; und zu diesem Ende sollen 

 folgende drei Fälle durchgeführt werden. 



§• 34. 

 Erster Gränzfall. Es seien für die Gränzen durchaus keine Vorschriften gemacht. 

 Hierbei haben auch die Ausdrücke 



Vlllj dz^,j , J.-i„_„ , dz,^,. , fjz^^,,., , 



^2^ ;jä,, ^^ Qi.^ 



IX) d'z^,, , d'z^^„ , d'z 



■c , V 



diu-chaus keiner Bedingung zu genügen; und die Gränzengleichung zerlegt sich in folgen<l(^ 

 vier einzelne : 



Xj (Ta;)„,, = Ü , XI) (lx),,„==0 



XIU (I;/K,,,.-(Ia;),,,-,^=0 , XIII) (Iy).„.,/-(I^).,./.|^ = 



In den Gleichungen X und XI ist x constant; sie sind aber nach y identisch, und müssen, 

 wenn sie Differentialgleichungen sind, als totale Differentialgleichungen nach y behandelt 

 werden. 



