Anwendwig des sogenannten Variationscalcul's auf zweifache und dreifache Integrale. 73 



§• 35. 



Zweiter Gränzfall'. Die gesuchte Function soll nur aus jenen herausgewählt 

 Averden, welche alle bei x^=a , x^=a ^ ij^y und y^y" sich bezüglich in folgende vier 

 Ausdrücke 



Hy) , \"{y) , f"'(^) , f""(.^) 



specialisiren. Bei dieser Vorschrift müssen folgende zwei Systeme von Gleichungen 



und 



stattfinden, und die Gränzengleichung fällt von selbst weg. Die durch Integration der Haupt- 

 gleiehung eingegangenen zwei willkürlichen Functionen specialisiren sich durch folgende 

 vier Gleichungen: 



Aus diesen Gleichungen ergeben sich aber noch folgende vier weitere"': 



XVIIIJ ,3,,,(„)=:f' (Ä(a)) = f"'(a) , XIX) 3,,^(a) = f (/?(aj) = f""(a) 

 XX) ,3„,,,,, = f''(6(<z)) = f"'(«) , XXI) .s,,,,,)=f"(/5(«)) = r(«) 



Sobald eine einzige dieser vier Gleichungen einen Widerspruch in sich trägt , ist dieser 

 zweite Fall, wie er hier gestellt ist, unmöglich. Sollten aber die vier voi'gesclmebenen 

 Functionen 



Hy) , \"iy) > f"'(^-) , f""H 



Stücke in sich enthalten, die noch willkürlich sind; so müssen diese sich so specialisiren 

 lassen, dass letztere vier Gleichungen erfüllt werden. 



Die in VII aufgestellte allgemeine Form des Prüfungsniittels reducirt sich jetzt ohne- 

 weiters auf das zweifache Integral, so dass es gar nicht nöthig ist, sich um rj und cd zu 

 bekümmern. 



§. 3(1. 

 Dritter Gränzfall. Wenn für die Gränzen die Gleichung 



XXII) /(s..,/,s.,,") = <' 



> Eine auf diesen Gränzfall bezügliche geometrische Aufgabe ist folgende: „Man suclit zwischen zwei in den Endpunkten der 

 „Abscissen a und a senkrechten Ebenen und zwischen zwei auf der Uoordinatenebene X Y senkrechten Cylinderuuinteln 

 „2/' =: b {x) und y" = ß (x) die kleinste Fläche unter allen denen heraus, welclie durcli vier feste Curven begränzt werden, die 

 „in den besagten zwei Ebenen und zwei Cylindermänteln liegen". 



* Bei der in voriger Anmerkung gestellten geometrischen Aufgabe Uisst sich die Nothweiidigkeit , dass die vier Gleichungen 

 XVIII — XXI stattfinden müssen , sehr leicht veranschaulichen. Die zwei in den Endpunkten der Abscissen a und a senk- 

 rechten Ebenen und die beiden gegebenen Cylindermäntel schneiden sich nemlich nach vier geraden Linien, und in jeder die- 

 ser vier Graden liegt ein Punkt, welcher zweien der gegebenen Gränzcurven gemeinschaftlich sein muss, weil man sonst durch 

 sie (diese Gränzcurven) keine Fläche begränzen könnte. 



Denkschriften der matliem.-naturw. Cl. XVI. Bd. Abband), v. Nichtmitgl. k 



