Anwendung des sogenanntenVariationscalcuVs auf zweifache und dreifache Integrale. 75 



Durch Integration dieser Partialdifferentialgleiclumg ergibt sich für öj ein aus x ,y ,7:{x) 

 zusammengesetzter Ausdruck, wo man die willkürliche Function 7r(x) so verwenden kann, 

 dass die identische Gleichung 



d>J 



XXXII) cü^ , ,r — w. . y . r — ( {ly). , y — (I x). . ,-/ • ^ ) • ^ 







stattfindet, und Gleichung XXX sich auf das Doppelintegral zurückzieht, so dass auch jetzt 

 der Zeichenstand des o'- U von 9t und 5) abhangt. 



Unters 1 1 c h u n g 9 . 

 §. 37. 



d^z rf » d' e d^d z d'z 



Es sei W ein reeller, mit denBestandtheilen .r, y , z , -^ , ~— , ~ , — — , ~ versehe- 



ner Ausdruck ; und man sucht für z eine solche Function von x und y, dass folgendes 

 Integral 



a y 



[j ^' = ff T^'-'^/z • f^^ 



wo -// und g" Functionen von x sind, ein Maximum oder Minimum wird. 

 Hier bekommt man zunäclist 



a </" 



r rr ^,w d sz dss d-jz 



Das aljofemeine Verfahren zur Umformung dieses Ausdruckes ist bereits in der 7"" Un- 

 tersuclnmg mitgetlieilt; und wenn man den dortigen Abkürzungszeichen die Bedeutung bei- 

 legt, welche ihnen in hiesiger Aufgabe zukommen, so gibt sich (nach Gleicliung III 



in i^. 15) 



III) (Ixg) =• [llxg) . dz 



d (IIa;2) d, (U-cy) , d^3z 



,v, (&) = (da.) _^ -=i=^) . „V + (IIx').^ 



d (II 2/2) d (Ila-w) , d„dz 



VI) (S) = 1 =^= — ^^ -\- =^== + • = -j- ^ ] . oz 



J ^ ' \ dz dx dy dx^ dx . dy dy' ' 



und aus Gleichung III folgt weiter 



d,^{^xy) d^{\\xy) d,U 



Vin = . r;,s 4- Ila'w) . ^^ , 



Die allgemeine Gleichung X des §. 31 specialisirt sich also jetzt auf folgende Weise: 



k* 



