Anwendung des sogenannten VariationscalcuVs auf zweifache und dreifache Integrale. 79 

 Die Bedeutung- von d W, d'^W, =^ und =^= ist bereits (aus §. 23) bekannt. 



° d.e dy \ -j y 



In den Gleichungen II und III müssen aber die mit den zweifachen Integralzeichen 

 versehenen Theilsätze noch so umgeformt werden, wie in den drei vorigen Untersuchungen 

 geschehen ist. 



Dabei beachte man, dass die nach y auszuführenden Integrationen unabhängig sind von 

 i^ü , ffa , ^-a , ifa , dass man also diese Werthänderungen, je nachdem es zweckmässig ist, 

 bald ausserhalb, bald unterhalb des Integralzeichens stellen kann. 



Um jedoch von den Eigenthümlichkeiten, die dabei vorkommen können, einige zu 

 erledigen, mögen noch zwei specielle Untersuchungen nachfolgen. 



Untersuchung 11. 

 §. 41. 



d z d z 



Es sei IFein reeller, mit den Bestandtheilen a; , ?/ , 3 , — , -— versehener Ausdruck; 



und mau sucht, während die Werthe von a und a bestimmte sind, für z eine solche Function 

 von X und ?/, und für -i/ und y" solche Functionen b{x) und ß{x) des einzigen Veränderlichen 

 X , dass folgendes Integral 



I) U=fjW.dy.dx 



ein Maximum oder Minimum wird. 



Weil diesmal die Werthe von a und a bestimmte sind, so ist »^a^O , *9a = , *"a = Ü, 

 ,fa=zO etc.; und desshalb fallen alle mit /9a , *« , ^'a , &' a etc. behafteten Theilsätze der in 

 voriger Untersuchung befindlichen allgemeinen Formeln hinweg, d. h. man bekommt dies- 

 mal nur 



II| ^> t^= / ( Ta^)« , , • oz, , , . dy —J (Ix), , „ . «X y dy 



ä(a) 4(a) 



+J{w^.,'' ■ <hj" + ((li/).,." - (i^)^.v' • i) • '^--■' 



a 



- Vf..,- ■ »>■ - ({i.?).,„- - (i^),./ • t) ■ """■■'■] • ^''■ 



a ii' 



wo uian der Zweckmässigkeit wegen 



h («) , /9 («) , 6 (a) , ■ /? (a) 

 bezüglich statt 



Va , y'a ) ^1 ' y"^ 



gesetzt liat. Aus Gleichung II folgt zunächst die Hauptgleichung 



