Anwendung des sogenannten VariationscalcuT s auf zweifache und dre fache Integrale. 81 



IX) (hj , fjy" , d^y' , o-y" , etc. etc. 



durchaus keiner Bedingung zu genügen. Hier sind also die bei VII aufgestellten vier Aus- 

 drücke dem Wertlie nach ganz unabhängig von einander, obgleich sie aus einer und derselben 

 Form öz^^,j herstammen. Das Nämliche gilt von den bei VIII aufgestellten vier Ausdrücken, 

 obgleich sie aus einer und derselben Form J".?j. j, herstammen. Und so fort. 

 Dabei zerlegt sich die Gränzengleichung in folgende sechs einzelne: 



dv" 



X) {lx),,y = , XI) (I^/).,." - (I^).,." ■-h = ^ ' XII) TF,,,-, - 

 XIII) (Ix),,, = , XIV) (I?/)..,, - (U-).,,- . ^ = , XV) TF,,,- = 



In den zwei Gleichungen X und XIII ist x constant; sie sind aber nach y identisch, und 

 müssen, wenn sie Differentialgleichungen sind, als totale Differentialgleichungen nach y 

 behandelt werden. 



In den zwei Gleichungen XI und XIV sind an die Stelle des y die Functionen y'^ b{x) und 

 y"= ß(x) getreten; sie sind also nach x identisch, und müssen, wenn sie Differentialgleichungen 

 sind, als totale Differentialgleichungen nach x behandelt werden. Schaut man jedoch noch 

 einmal auf die Gleichungen XI und XIV, so sieht man, dass daselbst die Differentialquotienten 

 der noch unbekannten Functionen y' und y" vorkommen. Durch Elimination dieser Quotienten 

 wird jedenfalls einige Bequemlichkeit gewonnen für den noch rückständigen Theil der Unter- 

 suchung. Nun sind aber auch die Gleichungen XII und XV nach x identische, und desshalb 

 sind auch ihre totalen Differentialquotienten identisch Null, d. h. man hat auch 



dv" dy' 

 Eliminirt man — und -^ , so gehen XI und XIV bezüglich über in 



XVI) (t^.ß,))^^+{iZ.ay))^^^ = , XVII, (il.(lx))_^+(^'.(l2,))_^^=0 



Man substituire jetzt das für s gefundene allgemeine Integral in die Gleichungen X, 

 XIII , XVI , XVII , und integrire dieselben als totale Differentialgleichungen. Erst die sich 

 ergebenden vier Integralgleichungen können benützt werden zur Specialisirung der (in z 

 eingegangenen) zwei willkürlichen Functionen*. 



Hierauf substituire man die so speciabsirte Function z in die beiden Gleichungen XII 

 und XV, und bestimme y' ^ b (x) undy"=ß{x). Weil aber die beiden Gleichungen XII und 

 XV einander einerlei sind, so müssen sich für y' und y" die nemlichen Ausdrücke ergeben. 

 Sind diese vielförmig, so kann man die verschiedenen Formen so vertheilen, dass die der 

 Aufgabe zu Grunde liegende Hauptbedingung 



ß{'x)>b{x) 



' Der einfachste Fall, welcher dem hiesigen Gränzfalle entspricht, ist (§. 10) derjenige, wo alle vier Integrationsgriinzen con- 

 stante Werthelemente sind; und auch dort sind zur Specialisirung der (in n eingegangenen) zwei willkürlichen Functionen 

 vier mit Gränzeleraenten versehene Gleichungen vorhanden. 



Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XVI. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgl. 



