Anwendung des sogenannten Variatmiscalcid's mif zioeifache und dreifache Integrale. 83 



dx 



m, ä ßz d üs '2 ,d dz 2-, 



Ulli 



1 (Jloieluino- VI reducirt siVli auf 



'S5 



- d üj ^ 



XX) (F— -^).(AC — B-) = A.E^ — 2BE(D — t«) + C.(D — «f 



Weil nun diese Gleichung nur den einzigen Partialdifferentialquotient -^ enthält, so 



bekommt man durcli deren Integration für w einen aus x , ?/ , 7r(a:) gebildeten Ausdruck, 

 wobei - (x) eine ganz willkürliche Function von x vorstellt. Aber eben diese in w enthaltene 

 willkürliche Function tt (x) kann man nach der bald so bald so genommenen F'unction dz 

 auch jedesmal bald so bald so einrichten, dass die nach x identische Gleichung 





- ^ .( i^ ..._„ + (i.)_„ .f%i)V ._„. ^. 



stattfindet, wobei sich Gleichung XIX auf 



XXI) r. ?7=j[(^)^ ^ .(..,y +_.^g^_^„ 4- __.====] 



a 



^ y. dy )^ ^. y -^ ' Wj •"•?/! w^ dx ) \ 



r f'' r ,dSs d Sz .2 ,ddz .--| 



zurückzieht. Man erkennt also, dass im Falle des Maximum's oder Minimum's die vier 

 Ausdrücke 



,dW^ , d, W . 



(tt) „ ■ I-tt),.. • s" • ^ 



bezüglich negativ oder positiv sein müssen. 



§• 43. 



Zweiter Gränzfall'. Man soll unter allen in Betracht zu ziehenden Functionen die- 

 jenige z^(p{x.,y) herauswählen, welche bei y' = b{x) und bei y" = ß(x) bezüglich mit 



Eine auf diesen Gränzfall bezügliche geometrische Aufgabe ist folgende: „Man sucht die kleinste Obertiäche zwischen zwei 

 „festen parallelen Ebenen und zwischen zwei gegebenen Flächen". 



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