Anwendung des sogenamitenVariatiomscalcuPs auf zweifache und dre fache Integrale. 85 



Weil aber die vier Stücke dz^,, , fJz^^,^ , dy' , dy" ganz unabhängig von einander sind, so 

 zerlegt sieh letztere Gleichung in folgende vier einzelne 



XXVIII) (la;),,, --= , XXTX) W^^,, + (q'-?)^,.,/' •((!?/)..,/■- (I^).,,'. • ^') = 

 XXX) (I^),,, = (» . XXXI) Ti;,,. + (?'-?).,.,,. . ((I.V).,,/ - (I^).,,. • ^) = 



Schaut man auf XXIX und XXXI zurück, so sieht man, dass daselbst die Differential- 

 quotienten der noch unbekannten Functionen y" und y vorkommen. Durch Elimination dieser 

 Quotienten wird jedenfalls einige Bequemlichkeit gewonnen für den noch rückständigen Theil 

 der Untersuchung. Differentiirt man nun XXVI und XXVII nach allem cc, so bekommt man 

 bezüglich 



'ö' 



Ay' , , dy' 



dx -"•" ' -L^'V d.v 



dy" , , dy" 



und wenn man mittelst letzterer Gleichungen die Quotienten — und — aus XXIX und. 



° dx dx 



XXXI eliminirt, so bekommt man 



XXXII) IF,,,,. + (p' —p).,,r ■ (I^).,." + (q' — '?)x,," • (I^/).,,/' = 

 XXXIII) IF,,„. + (/— p).,,. . {lx),,,y + (?' — </).,/ • (I^).,/ = 



Die Symmetrie dieser beiden Gleichungen ist beachtenswerth , und sie lassen, wenn die 

 Aufgabe eine geometrische ist, sich geAvöhnlieh auf einfache Weise geometrisch deuten'. 



Man substituire jetzt die für s gefundene allgemeine Function in die Gleichungen 

 XXVIII, XXX, XXXII und XXXIII, und integrire sie als totale Differentialgleichungen. 

 Erst die sich ergebenden vier Integralgleichungen können bei Specialisirung der zwei (in 

 z eingegangenen) willkürlichen Functionen benützt werden '\ 



Hierauf substituire man die so specialisirte Function z in die beiden Gleichungen XXIV 

 und XXV, und bestimme die unbekannten Functionen y' =b{x) und y" ^ß{x). 



Zur Herstellung des Prüfungsmittels eliminire man vorerst d""z^,^, und d'Z-^^^,. aus V, 

 und beachte die vier Gleichungen XXVIII — XXXI; so bleibt nur 



J{a) ßW 



XXXIV) d'U^ ( rj,,^^ . dz^^ . dy —j rj,^,, . öz^^ . dy 



6 (a) 6 (a) 



r'Vr'l W , djj'\x ,d_W ^ i<^J^ <^„^^ dv"i\ 



1 Sucht man z. B. die absolut kleinste Oberfläche zwischen zwei parallelen Ebenen und zwischen zwei Flächen, so ist die 

 geometrische Bedeutung der zwei Gleichungen XXXII und XXXIII die, dass die gesuchte Fläche auf den gegebenen Gränz- 

 flächen senkrecht steht. 



2 Man erinnere sich, dass in jenen einfachen Fällen, wo alle vier Integrationsgräuzen constant sind, auch jedesmal v i e r (mit 

 Gränzelementen versehene) Gleichungen existiren, die bei Specialisirung der zwei (in « eingegangenen) willkürlichen Func- 

 tionen erfüllt werden müssen. 



