Anwendung den sogenanntenVariationscalcuC s auf zio ei fach' und dre fache Integrale. 87 

 dz^^,y und öz^y., sein mag, die in m enthaltene willkürlir-lie Function jr(x) so verwenden, dass 



XXXVI) - ~\ V,.r7z^„y. + {Ixl,,. .Ä^y + <o.„r-<J^,.r 



das Aggregat 



("x,,/ • f>A:,y' 



zu Null wird. Hiermit erkennt man, dass es diesmal von den vier Ausdrücken 



I ^ ^Ml q'--? ^^,^-) I ^ dy q' — q 1 ^ ,y \ 



abhangt, ob ein Maximum oder Minimum stattfindet. 



§• 44. 



Dritter GränzfalP. Man soll unter allen in Betracht zu ziehenden Functionen die- 

 jenige z^=<p{x^y) herauswählen,' welche bei y' :=h{x) und bei ?/" =/9(a;) bezüglich in die 

 ganz bestimmten und nur mit dem einzigen Veränderlichen x versehenen Ausdrücke 



XXXVII) c =f{x) , und XXXVIII) r = f H 



übei'gehen. 



Diese Bedingung ist ausgesprochen durch die Gleichungen 



XXXIX) <p[x,b[x)]=^f{x) , und XL) (p[x , ß {x)] = \ [x) 



oder kürzer durch 



XLI) 3^ j,, =r c^ , und XLII) z^ _ j,.. = y^ 



Will man an die Stelle des y' und ?/" andere als die gesuchten Functionen b[x) nnd ß{x) in 

 die zwei letzten Gleichungen substituiren, so muss man ebendaselbst an die Stelle des z auch 

 andere Functionen als die gesuchte f[x,y) setzen; und weil/(a:;) und \(x) bestimmt vorge- 

 schriebene Functionen sind, so bekommt man diesmal 



•' ^ ,v 



X , y 





Eine auf diesen Gränzfall bezügliche geometrische Aufgabe ist folgende : „Es sind zwei in den festen Endpunkten der Abseissen 

 „a und a senkrechte Ebenen und zwei auf der Coordinatenebene X Z senkreclite Cylindermäntel c=/(x) und ;'= f(*) ge- 

 ngeben. Man sucht 



1) zwei auf der Coordinatenebene X Y senkrechte Cylindermiintel y' =b (») und y" = ß (.?•) ; ferner 



2) eine Fläche. = ^(^-,2/) ^ (e=/(.r)j 

 „unter der Bedingung, dass zwischen den zwei zuerst genannten Ebenen und zwischen den beiden durch j / __ j/^\| ^^^ 

 ]^,,~ If.li dargestellten Curven die Ausdehnung der gesuchten Flache die kleinste sei." 



