88 G. W. Strauch. 



Wenn man die schon im vorigen §. angewendeten Abkürzungszeichen p , q ^ t auch hier 

 wieder beibehält; so bekommt man aus den letzten vier Gleichungen 



Man eliminire jetzt öz^^^, und dz^^,^,, aus der Gränzengleichung IV, setze zur weiteren Ab- 

 kurzungj9 und p bezüglich statt-— — und— — ; so gelangt man, wie im vorigen §. verfahrend, 

 endlich zu folgenden vier einzelnen Gleichungen: 



XLIII) (l^)a,, = , XLIV) TK,,.. + (p'— ^9).,,,, .(Ix),„„- g.,,„. {ly)^^,y. = 



XLV) (I x), , ^, = , XL VI) TF: , ,, + (p —p), , ,, . (I x)^ , ,y — q, ,y . (I y)^ , ^,, = 



Die zwei Gleichungen XLIV und XLVI sind zwar nicht so symmetrisch, wie die beiden 

 XXXIIundXXXni im vorigen Gränzfalle ; allein ihre geometrische Bedeutung ist die nemliche. 

 Die vollständige Ausführung dieses Gränzfalles mag unterbleiben; denn man hätte dabei 

 denselben Weg zu gehen, wie im vorigen Gränzfalle. 



Untersuchung 12. 

 §• 45. 



Es sei TFein reeller, mit den Bestandtheilen x .y . z . — . ^— versehener, Ausdruck: 



und man sucht für z eine solche Function (p{x ,y), ferner für y' und ?/" zwei solche Functionen 

 b (x) und ß{x), und gleichzeitig für a und a solche feste Werthe, dass das Integral 



a y" 



ü^f f W.dy.dx 



ein Maximum oder Minimum wird. 



Weil diesmal für die zwei Integrationsgränzen a und a bestimmte Werthe gesucht 

 werden; so kommen auch die Formeln des §. 40 vollständig zur Anwendung. Als Haupt- 

 gleichuug hat man 



d^W d^(\oc) rf^(Ij) 



") ^ 



dx dy 



= 



welches .dieselbe ist, wie in der ersten Untersuchung, wo alle Integrationsgränzen constaat 

 waren. 



Nun mögen folgende zwei Gränzfalle aufgestellt und durchgeführt werden. 



§. 46. 

 Erster Gränzfall. Wenn für die Gränzen durchaus keine Vorschriften gemacht sind, 

 so ist es zweckmässig, der Gränzengleichung folgende Form zu geben: 



