Ayiwendung des sogenannten Variutionscalcul's auf zioeifache und dreifaclie Integrale. 89 

 III) (j W,^^.dy).&a-[j W^_^.dy).>U 



b (a) 4 (a) 



+J ^^)a,yöz,^^.dy —j {lx),^^.dz,^^.dy 



i (a) 6 (a) 



a 



+f[w..,..Sy" + ((!./).,,„_ (Ix).,, „ . '-£).o^^.,,. 



a 



- TF.,,, . «Y-((ry)^,,, - (Ix-).,,, . ^) . ,,x,y].^^'=o 



Diese zerlegt sich ohneweiters in folgende acht einzelne: 



IV) (Tx)„,, = , V) (Iy).,,„_(Ix).„„.|:=0 



X) / ir„,,.fZj/ = , XI) f W,,^,.dy = () 



"4(a) '«(a) 



In die vier ersten (Nr. IV — Vll) substituire man die für s gefundene allgemeine 

 Function, und dann integrire man dieselben als totale Differentialgleichungen. Hierauf 

 werden die sich ergebenden vier Integralgleichungen zur Specialisirung der in z eingegan- 

 genen willkürlichen Functioneii benützt. Dass aber aus den Gleichungen V und VII, ehe 

 man sie gebraucht, die Quotienten — und — eliminirt werden müssen, ist aus §. 42 bekannt. 



Die zwei folgenden Gleichungen (Nr. VIII und IX) können eigentlich nur als eine 

 einzige gelten. Wie man aber damit zu verfahren hat, dass man aus ihnen dennoch zwei 

 verschiedene Functionen y' =^b {x) und y" z=:j3{x) bekommt, ist gleichfalls aus §. 42 bekannt. 



Die beiden letzten (Nr. X und XI) sind ebenfalls so gestaltet, dass sie im Allgemeinen 

 nur für eine einzige gelten können; und man muss die für a und a sich ergebenden Werthe 

 so vertheilen, dass die Bedingung a>>a erfüllt wird. 



Weil die beiden Gleichung-en VIII und IX nach x identisch sind, so ist auch 



Wenn man ferner die acht Gleichungen (Nr. IV — XI) beachtet, und zur Bequemlichkeit 



as. , SB, , 5B, , m, , V, , w, , v, , w, 



bezüglich statt 



d^ d^W d^W rf^ d^ d^ d^ dJV 



l-^J,,, ' l d. i,,, ' l=^J„,, ' l d. J„,„ ' l dy J,,,, ' l d. ;.,,. ' l dy J._,„ ' l d. J.,,„ 



setzt; so reducirt sich der in Gleichung III des §. 40 aufgestellte allgemeine Ausdruck des Prü- 

 fungsmittels auf 



6(a) 



Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XVI. Bd. Abhandl y. Nichtmitgl. 



