Anwendung des sogenannten VariationscalcuVs auf zweifache und dreifache Integrale. 9 1 

 Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich (p{y) und ;f («/) bestimmen, wodurch es mög- 

 lich wird, yj in dz^^^ ' (^)_^ ' ^^^'" ' (^^l „ '-^^i^^^rücken. Diesen für rj gefundenen 

 Ausdruck führe man jetzt in XVI ein, und intcgrire. Dann wird sich, weil in XVI nur 

 '^ " und nicht auch — vorkommt, für o) ein aus x , tj , tt {x) zusammengesetzter Ausdruck 



dy ^-^ 



eroeben, wo 7r(a;) eine willkürliche Function des einzigen Veränderlichen er ist. Aber eben 

 diese in o> enthaltene willkürliche Function tt {x) kann man noch so verwenden, dass auch 

 der Gleichung XV genügt wird. 



Hiermit erkennt man, dass es von den sechs Ausdrücken 



abhanot. ob ein Maximum oder Minimum stattfindet. 



§. 47. 

 Zweiter Gränzfall'. Man soll unter allen in Betracht zu ziehenden Functionen 

 z = f[x ,y) diejenigen herauswählen, welche nicht allein bei x = a und bei x = a bezüglich 

 mit 



XX) c^f{x,y) , und XXI) f = H^ ^ !/) 



sondern auch noch bei y'=^b{x) und bei y"=ß{x) bezüglich mit 



XXII) c" = /' (x , ij) , und XXIII) r" = f " (a^ ' J/) 



zusammenfällt. 



Dieses Zusammenfallen ist dargestellt durch die vier Gleichungen 



XXIV) ^(a,i/)=/'(a,i/) , und XXVj ^(« , y) = f (« , ?/) 



XXVI) ,p[x,bix)]=^f"[x,bix)] . und XXVII) <p[x , t3ix)] = f [x , ß{x)] 



oder kürzer durch 



XXVIII) ä;^,, = cl„ , und XXIXj .s,,,,, = r«../ 



XXX) s,. , ,/ = c': , ,. . und XXXI) z. . ,/■ = r'i , ." 



Wenn von jetzt an zur Bequemlichkeit die Abkürzungszeichen 



p ,q ,r ,s ,t , ^y , ^' , ?•' , 5' , r , p' , q' , r' , 6' . f , p\ q , r" . s' , t" , 



p" , q" , r" , 6" , t" 

 und zwar in demselben Sinne wie in §. 29 gebraucht werden: so folgt (nach 1,. 2(3) aus rien 

 Gleichungen XXVIII und XXIX, dass 



XXXII) oX,„ = {p — P\.', ■ '^^ 

 XXXIIIj dz, „ r^ (p' — p )„ . „ . ft a 



Eine auf diesen Gränzfall bezügliche geometrische Aufgabe ist folgende: „Man sucht zw.chenv .er gegebenen Flachen de 

 „kleinste Oberfläche unter allen denen heraus, von welchen zwei der gegebenen Flächen nach einfach ^^''---'-^u - 

 :.en gesehnlUen werden, die so gelegen sind, dass deren Ebenen nait einander parallel laufen und auf der Axe X senUrecht 

 „stehen." 



