Anwendung des sogenannten VariationscalcuVs auf zweifache und dreifache Integrale. 93 

 XLI) f [a , 5 (a)] =/ [a , h (a)] , und XLII) 5^ [a , y9 (a)] =/' [a , y9(a)] 

 und 



XLIII) oX.Ma) = (y — i^)a,6(a)-'9a , Und XLIV; 0^3,, ^(„) = (p' — ^),,^(„ . *a 



Setzt man 6 («) und ß{a) statt ?/ in XXV und XXXIII ein, so bekommt man bezüglich 



XLVj f{fj. , b{a)] = f [a , 6(a)] , und XLVI) f [« , /?(«)] = f [« • ß{a)\ 



und 



XLVIIj Sz„ , 4 („, = (p' — i?)„ , 4 (a) . * « , und XLVIII) (?3„ , ^ <„, = (p' — i>)„ , ^ („) • * « 



Setzt man a statt x in XXVI, XXVII. XXXIV und XXXV ein, so bekommt man 

 beziiglic'li 



XLIX) ^ [a , & (a)] =/" [a , b (a)] , und L) f? [a , /9(a)] =-- f " [a . ß (a) J 



und 



LI) dz, _ j (,) = (q" — ?), , j (a) • o"6 (a) , und LH) ^z, , ^ (a, = (q" — ?)a , ^ (a) • o'/9(a) 



Setzt man aber a statt a; in XXVI. XXVII, XXXIV und XXXV ein, so bekommt man 

 bezüglich 



LIII; <p[a,b{a)]=f"[a,b{a)] , und LIV) ^[{a , ß{a)] := r'[r, . ßia)\ 



und 



LV) dz, ,,(„) = (q" — q)a.>, (.) • ^b [a) , und L VI) dz, _ ^ ^^^ = (q" — y) , ^ ,„, . dß (a) 



durch Verbindung von XLI mit XLIX. von XLII mit L, von XLV mit Llll, und von XLVI 



mit LIV wird man zu folgenden vier neuen Gleichungen 



LVIIj 3.,,(,)=/[a,6(a)]=/"[a,6(a)] . LVIII) s,,,^,) =/'[a , /9(a)] = f"[a , /9(a)] 

 LIX) s„,,(„)=f'[a,6(<z)]=/"[«,6(a)] , LX) 3„,^(,, = f'[a , /5(«)] ^ f"[« ,/?(«)] 



gelangen; und sobald eine einzige' derselben einen Widerspruch in sich trägt, ist unser 

 zweiter Fall, so wie er hier gestellt ist, unmöglich. Sollten aber die vier vorgeschriebenen 

 Functionen 



f'{x,y) , f'{x,i/) , f"{x,y) , \"{x,y) 



Stücke in sich enthalten, die noch willkürlich sind, so müssen letztere sich so specialisiren 

 lassen, dass jene vier Gleichungen (LVII — LX) erfüllt werden. 



Durch die Verbindung von XLIII mit LI, von XLIV mit LII, von XLVII mit LV, 

 und von XLVIII mit LVI wird man noch zu folgenden vier Gleichungen 



' Besonders durch die (in der ersten Anmerkung dieses Paragraph's gestellte) geometrische Aufgabe lässt sich die Notbwendig- 

 keit. dass diese vier Gleichungen stattfinden müssen, ganz leicht veranschaulichen. Die gesuchte Oberfläche wird nämlich 

 von vier Curven begränzt, von denen jede auch in einer Gränztläche liegt. Es befinden sich aber je zwei dieser Gränzcurven 

 einander gegenüber und werden von den beiden anderen geschnitten , weil man sonst keine Fläche mit ihnen begränzen 

 könnte; und jeder dieser vier Durchschnittspunkte ist zweien der Oränzfläohen gemeinschaftlich. 



