Anwendung des sogenannten Variationscalcul' s auf zweifache imd dre fache Integrale. 95 



ZWEITE ABTHEIEUNG. 



Anwendiino- des (susenannten) VariaUonscalfiil's auf dieilactn' liitcoialt'. 



Erster Abschnitt, 



wo solche Integrale vorkommen, bei denen die Gränzen sowohl der ersten als auch der zweiten Integration 

 nnahhäiigig sind von jenen Verändeilichen, nach welchen die folgenden Integrationen durchgeführt werden 



sollen. 



Unters u c li u n g 13. 



§. 48. 



d w d w d ^ tc 



Es sei TFein reeller, mit den Bestandtlj eilen x,y,z,io, -^ , ^^, —- versehener, Aus- 



•^ d.v dl/ dz 



druck; und man sucht für w eine solche reelle Function der drei Veränderlichen x.y,z, 

 dass folgendes Integral 



I) U=l I j W.dz.dy .dx 



wo c und ;- keine Functionen von x und y . und wo b und ß keine Functionen von x sind, 

 rin Maximum oder Minimum veird. 



Die Wertlie von ajü-jb^ß^c,}- sind hier als constant zu betrachten, jedoch mit steter 

 Rücksicht, dass «>■ a,^>6 und ;-> c ist. 



d w d IC d^ v> 



Man setze zur Abkiirzuno' p ^n ,r bezüglich statt -^ , ^^ , — : so bekommt man vorerst 



'^ ^ - -' ' => dx ^ dy ^ dz ^ 



r''r'^r\d W d W d dw d W d dw d W d 3u! -i 



II, r)U^ \^^r)w + ^^.-—+ ^^.^^ + ^~.-^~\.dz.dll.dx 



J J J l '^"' dp (U ~ dg dy ^ dr dz ] ^ 



Man bezeichne, um noch mehr abzuküi'zen, die zu den drei Differentialquotienten der 

 ersten Ordnung 



d^dio d rJw d,dw 



dx ' dy ' dz 



gehörigen Factoren bezüglich mit 



[Ix) , (Uj) , {Iz) 



so gestaltet sich letztere Cileichung auf folgende Weise: 



a Ä e 



Die Zweckmässigkeit dieser drei Abkürzungszeichen wird man am besten erkennen, 

 wenn man auf frühere Anlässe (§. 8, §.15 und §. 21) zurückschaut. 



Man beachte, dass die durch (I x) , (I ?/) , (I s) repräsentirten Ausdrücke das cc, das y und 

 das z sowohl unmittelbar als auch mittelbar in w,p.q,r enthalten, und dass die durch dw 



