Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zweifache und dreifache Integrale. 99 



d T] dm d X 



XXI) L-— _ -±- _ ^ _ 2t . ^^ _ ® . ©^ -_ D . 3^ ^ 



und 



J-f 



/a ,1/ ,z ' ^^^a , ?/ , 3 



XXII) o-C^=jJ[(Ix)„,,,,.o^^«,„,„,, + 5y, 



ö c 



— (I »■).•• , .V , -- • '^'^"a ,,,.-• — 'ya , y ,--• '^«'a ,,,. ] • f^S • dl/ 

 a y 



+ JJ [(I^/).,,?,. •'?'««.,,?,. + ö>,,^,,. r;?0^,^,, 



a c 



a ,5 

 a /j 



r P r\ , d liw d„ S w d d w ^ - 



\lfj\^^ ■ (^ + ^--^ + <^ -^ + ® • H 



a /j ^ 



+ ® • ( V + ^ • ^ + ® • H + ^^- (V + 3 • o^^)].d..dy.dx 



In den beiden letzten Gleichungen befinden sich aber immer noch zwei willkürliche 

 Stücke. Nimmt man i^ und (o als willkürlich, so kann man tj eine solche Function von // und 

 z sein lassen, dass die nach ?/ und nach .3 identische Gleichung 



stattfindet; und co kann man eine solche Function von x und z sein lassen, dass die nach x 

 und nach s identische Gleichung 



stattfindet. Weil aber für rj eine E'unction von ?/ und z gesetzt worden ist, so ist — — = U ; 



du) 



und weil für co eine Function von x und z eesetzt worden ist, so ist — — ;=Ü. Gleichung XXI 



f^ dy 



reducirt sich also auf 



XXIII) L — ^ — «l . 3D'^ — ® . ©^ — C) . 3' = 



Wenn man jetzt diese Partialdifferentialgleichung, welche nur noch den einzigen Diffe- 

 dj ■ 

 rentialquotient -^^ enthält, integrirt; so bekommt man für A einen mit x , y , .3 , ;r (a- , _</) 



versehenen Ausdruck, wo tt (x , y) eine willkürliche Function von x und ij ist. Kann man 

 sodann tt (x , y) so verwenden, dass die nach x und y identische Gleichung 



stattfindet; so reducirt Gleichung XXII sich auf das dreifache Integral, d. h. man bekommt 



