Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zweifache und dreifache Integrale. 101 



§. 50. 



Erster Gränzfall'. Wenn für die (rränzen keine Vorschriften gemacht sind, so liaben 

 auch die Ausdrücke 



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durchaus keiner Bedingung zu genügen. Hier sind die bei ^ aufgestellten sechs Ausdrücke 

 dem Werthe nach ganz unabhängig von einander, obgleich alle aus einer und derselben Form 

 (?iü^ ,, j herstammen. Ebenso sind die bei 9 aufgestellten sechs Ausdrücke dem Werthe 

 nach ganz unabhängig von einander, obgleich sie alle aus einer und derselben Form d'w^ 

 herstammen, und so fort. 



Der Gränzengleichung VII wird also nur genügt, wenn folgende sechs einzelne 

 Gleichungen stattfinden : 



1) (lx),,„,, = , 2) (I?/),,,,, = () . 3) (I.s),,,,,, = u 

 4) (laj)„.,,.. = , 5) (I^),_,,,==.-0 , 6j (I,.L,^,^ = 



In den Gleichungen 1) und 4) ist x eonstant; dieselben werden aber in der Eegel Par- 

 tialdifferentialgleichungen nach ?/ und z sein. Dieser Umstand muss beachtet werden, wenn man 

 dieselben integrirt. 



In den Gleichungen 2) und h) ist ?/ eonstant; dieselben werden aber in der Regel Par- 

 tialdifferentialgleichungen nach x und z sein. 



In den Gleichungen 3) und 6) ist z eonstant; sie werden aber in der Regel Partialdiffe- 

 rentialgleichungen nach x und y sein. 



Erst wenn man das für lo gefundene allgemeine Integral in letztere sechs Gleichungen 

 substituirt, und hierauf integrirt hat, können die sich ergebenden Integralgleichungen bei 

 Specialisirung der in w eingegangenen willkürlichen Functionen benützt werden. 



Der in XXII aufgestellte allgemeine Ausdruck des Prüfungsmittels reducirt sich jetzt auf 



XX Vj <r V ^- jj [)y„ , „ . , . dwl ,,,,, — ;y, ,,,, 3 . <?wj; , y ,,]. c?3 . (/?/ 



i c 



+ / / [w^ ,ä,,.(?zü^,^,,— w,_4 ,. ö'«ü;_, J .dz .dx 



a e 

 a ß 



-^ \ j[K,y,r-(^<,v,r^'^^.y.c- o'^o!,,,e j • dy . dx 



a b 



a fi c 



,d dto ddw '- ,ddw .-n 



+ ^.[^ + % -^ ^ % . öw) -V S:) .[-- + % . Sw) Y dz . dy .dx 



' Dieser erste Gränzfall ist dem ersten in der ersten Untersuchung (§. 10) analog. 



