102 G. W. Strauch. 



Hier kann man die beiden Ausdrücke tj und w kurzweg zu Null werden lassen; dann ist auch 



sowie 



(ti^,ß..-dwl^ß^, — (ti^^,^,.dwl^,^, = , und "^ = 



und Gleiehunßf XXI reducirt sich auf 



^ö 



dz 



Wenn man jetzt diese Partialdifferentialgleichung integrirt, so gibt sich für X ein mit 

 cc , ?/ , s , TT (ic , ?/) versehener Ausdruck, wo -{x , y) eine ganz willkürliche Function von x 

 und y ist. Aber eben diese in k enthaltene willkürliche Function tt {x ,y) kann man noch so 

 benützen, dass auch die nach x und y identische G.leichung 



stattfindet. Dabei reducirt sich Gleichung XXV auf das dreifache Integral ; und es hangt, wie 

 schon im vorigen §. näher auseinander gesetzt wurde, von 51, (S und S) ab, ob ein Maximum 

 oder Minimum stattfinde. 



§. 51. 



Zweiter G ränzfalP. Die gesuchte Function soll nur aus jenen herausgewählt werden, 

 welche alle bei x = a. x = a, y^=b, y=ß, .3 = c, s = ;- sich bezüglich in folgende sechs 

 Ausdrücke 



3i(?/,s) , g,(?/,s) , %s{x,2) , %i{x,z) , %,{x,y) , %{x,y) 



specialisiren. Bei dieser Vorschrift müssen folgende drei Systeme von Gleichungen 



6 ö'^ö, , „ , , = , diD^^,j_, = , o- 10, , , , , = , ()- 10^ , , , , = , etc. 

 cT ow,^,^, = () , r??o,.__j,,= , r?-tö,^j,, = () , d-io,^ß^, = , etc. _ 

 ^ oio,,y,. = , o^iü,.,„,, = , o"-^o,,^,, = , ()-'io,^„^^= ,etc. 



stattfinden. Jetzt fällt die Gränzengleichung VII von selbst liinweg: und wenn die obigen 

 sechs Ausdrücke bestimmt vorgeschrieben sind, so müssen auch die sechs Gleichungen 



') ^na,i/,s)=Si(j/,2J , 8j f(«,y,-) =g3(?/,-) : 9) <p{x,b,z)=%^{x,z) 

 10) <f{x,ß,z)^%,{x,z) , 11) (f(x,y.G) = %,(x,y) , 12) <p(x ,y ,r) =^A^, P) 



bei Specialisirung der durch Integration der liauptgleichung eingegangenen willkürliehen 

 Stücke mitbenutzt Averden. 



Der, in XXII aufgestellte, allgemeine Ausdruck des Prüfungsmittels reducirt sich jetzt 

 ohneweiters auf das dreifache Integral, so dass es diesmal gar nicht nöthig ist, sich um die 

 drei Stücke rj , o) , k zu bekümmern. 



1 Dieser zweite Gränzfall ist dem zweiten in der ersten Untersucliung li;'. 11) .iiialog. 



