Anwendung des sogenannten VariationscalcuFs auf zweifache und dreifache Integrale. 103 



§. 52. 

 Dritter GränzfalT. Wenn für die Gränzen die drei Gleichungen 



13) /K,,„,.,eo„,,„,..) = , 14) /"K,,,,.,,zü,,,,J = , 15) /"K,„,.,z«.,„,J = 



vorgesehrieben sind ; so besteht 



zwischen dw^,^^, und c?w„ ,, , 

 zwischen öio^/,^. und Sw^^.. 

 zwischen <jto,„^^ und dw^^,^.^ 



eine Abhängigkeit. Man behandle ow^^,^^^ , dto^^^^, , ^w^,,, ,, als abhängig, und eliminire 

 diese Bestandtheile ; so nimmt, wenn man nach dem Vorgange des §.12 verfährt, die Grän- 

 zengleichung VII folgende Form an: 



ß r 

 XXV) /"/"[(Ix),,,,, — (Ia?)a,,,. • '^'] ■ oX..,.- .dz.dy 



+Jj [(!?/)., ^,.— (I?/).,6,.-F] .öw.^^^^.dz.dx 



a c 

 a ß 



+J j [{^^)x,y,r— (Is).,,,..^^"'].r?«ü,,^,y.C?3/ .dx = () 



a b 



Diese Gleichung zerfällt nun in folgende drei einzelne: 



16) (Irt:),,,,,-(I^),,,,,.«ß' =0 



17) (I?/).,^,.-(Iy).,,,..r =0 



18) (Ir4,,,,-(l3),,„,,.r'-0 



Man hat also hier abermals sechs Gleichungen (Nr. 13 — 18), welche bei Specialisirung der 

 in w eingegangenen willkürlichen Stücke mitbenutzt werden müssen. 



Eliminirt man jetzt auch o^^0J ,, ., d'iO-, g^, und d^w^,^,., so nimmt, wenn man abermals 

 nach dem Vorgange des §. 12 verfährt, Gleichung XXII folgende Form an: 



XXVI) d' U =jjba ,,,..— ^h , . , . • '^"■' - (I^)a , . . . • O'] . dwl ^,^^,.dz.dy 



+ 



a c 

 a ß 



^//[A.,,,>- - K,y,. .'V - [l^l,y,r .^"]. oiol,,, ,, . dy . dx 



a b 



a 6 c 



,d dw dßw -■' r^,ß^ \^1 , , , 



1 JHeger dritte Uränzfall ist dem dritten in der ersten Untersueliung (§. 12j analog. 



