Anwendung des sogenannten Variationscalcurs auf zweifache und dreifache Integrale. 105 



d^w d^. 



Erstes Beispiel. Es sei TF ein reeller, mit den Bestandtheilen a:,?/, s,w , — ,— ver- 

 sehener Ausdruck, und man sucht für w eine solche Function von x,i/,z, dass das Integral 



XXVII) ü= j 11 W . dz . dij . dx 



ein Maximum oder Minimum wird. 



Hier bekommt man die Hauptgleichung 



d^^W d^(lx) d^{\y) 



XXVIII) — -=r= — =7= = ö 



•' dw dx dy 



und die Gränzengleiehung 



'*„>' 



XXIX) yy[(Ix),,,,,.r;zü,,^,.. — (Ix), ,^,3. (?«?,,,,,]. dz.dtj 



+jf[(j!/)..ß,. ■ ^^^<'.,^,- — (I?/)x,4,= • ''^w,,,,,] . dz . dx = ü 



a c 



Bei Herstellung des Prüfungsmittels hat man diesmal dem dreifachen Integral 



rV rr d^Su! d,Sw dSw'^ 



Abc 



^ 2 £ . ^- . ^^- + (7 . U— 1 \.dz.dy.dx 



' dx dy ' ^ äy J ] -^ 



die Form 



^^''" ///[^V-- + ^H,^ + ö ■ ( V + ä^ + ® • "'") 



a ö c 



+ |) . (^ + 3 . die] + Ä . diD- \. dz . dy . dx 



zu geben. Hierbei gelangt man zu folgenden Gleichungen: 



_ C.F-E-' _ C.(K-yi)-E.{H-a>) 



0— C ' 'vi — c.F-E^ 



und 



XXXII) L-Ä-^^-^-®.®^-^.3'^ = 



Man hat also diesmal nur sechs Bestimmungsgleichungen, während doch die acht Stücke 



zu bestimmen wären, so dass zwei derselben willkürlich sind. Weil aber unsere sechs Be- 

 stimmungsgleichungen nichts einander Widersprechendes enthalten, so ist es in der That 

 möglich, dem Integral XXX die Form XXXI zu geben. 



Denkschriften der mathem.-natnr« . Cl. XVI. Ilil. Alihandl. v. Nichtmiti;!. ° 



