Anwendung des sogenannten Variationscalcuts auf zweifache und dreifache Integrale. 107 

 Hier bekommt man die Hauptgleidiung 



d W d {1.v) 



XXXVII) ^ ^== = 



' dw dx 



und die Gränzengleidiung- 



XXXVIII) fflilx),^^^^. r;;o,,„,, — (Icc),_,_, . r;io,,„,.. ] . dz.dy = 



Für das Prüfungsmittel bekommt man zunächst 

 /J r 



+JJJ [^ • '''^' + -^^- ^^"^ • -V + F • ( V ) ] • ^- ^^^- ^^- 



n 6 f 



Wenn man jetzt, wie in §. 49 und §. 54, den Ausdruck ^ zu Null werden lässt, so kann 

 man dem Prüfungsmittel diesmal folgende Form 



ß r 

 XXXIX) d- Ü =JJ [(I x% , , ^ , . d'w, , y , , + 3Ja , , , . . f)wl _ , _ , 



a Ä c 



geben, während zur Bestimmung von tj die Partialdifferentialgleichung 



(L-i;;}-F=(A--# 



integrirt werden muss. Dadurch ergibt sich für y^ ein mit x ,?/,z,-(]/,z) versehener Ausdruck, 

 wo TT (v/,£) eine willkürliche Function von y und s ist, welche jedesmal so benützt werden 

 kann, dass sich Gleichung XXXIX auf das dreifache Integral zurückzieht. 



§. 55. 



Zweiter Zusatz. Schauen wir auf die erste Abtheilung, welche sich mit zweifachen 

 Integralen befasst, zurück; so erkennen wir, dass die in der ersten Untersuchung (§. 8 bis 

 §. 14), wo nur Differentiale der ersten Ordnung vorkommen, abgehandelte Theorie ohne- 

 weiters auf Fälle mit höheren Differentialen (§. 15 — 22) ausgedehnt werden konnte. Ebenso 

 verhält es sich hier in dieser zweiten Abtheilung, welche sich mit dreifachen Integralen be- 

 fasst, d. h. auch die in dieser Untersuchung (§. 48 — §. 54) abgehandelte Theorie könnte 

 ohneweiters auf solche Fälle ausgedehnt werden, wo Differentiale der zweiten, dritten etc. 

 Ordnung vorkommen. Desshalb mag es genügen, hier nur eine einfache Aufgabe dieser Art 

 folgen zu lassen. 



