Anwendung des sogenannten VariationscalcuT^ s auf zweifache und dreifache Integrale. 109 



durch Gränzbedingungen noch so modificirt werden, dass dabei die Oränzengleichung hin- 

 wegfiillt. 



Wenn man die Hauptgleichung beachtet, so bekommt man für das Prüfungsmittel im 

 Allgemeinen folgenden Ausdruck 



V) fT-ü^ 



rr.dJi^ .dPi^ ,'h^s i''c'\ V. 1 7 



a 

 /Vr , d d R. , ddji. -1 



b r 



— 2// f-^-) .0^2 r^^) .,fio, , A.dz.dx 



a c 

 /*Vr , d d It ^ . d d li . "1 



a & 



_ 2 . / / / f -^J^^ — 1 . (Z,3 . fZw . (7x 



^/ J^ V dx.dy.dz ) '^ 



Diesen Ausdruck hätte man (etwa nach Analogie des zweiten Beispieles in §. 20) noch 

 umzuformen, damit man ihn, was auch immer für Gränzfälle gestellt werden mögen, jedesmal 

 so reduciren kann, dass nur ein dreifaches Integral zurückbleibt. Die betreffende allgemeine 

 Formel würde aber sehr weitläufig ausfallen; und desshalb mag sie wegbleiben, was um so 

 eher anQcht, als man an der Negativität des hier oben stehenden dreifachen Integrals das 



Vorhandensein eines Maximum's bereits erkennt 



Nun ist man auf dem Punkte, der Gränzengleichung auch wirklich zu genügen; und zu 

 diesem Ende mögen folgende fünf verschiedene Fälle aufgestellt werden. 



§• 57. 

 Erster Gränz fall. Es seien für das, an den Gränzen herrschende, Dichtigkeitsgesetz 

 keine Vorschriften gemacht, d. h. man sucht für die Dichtigkeit ein solches von den Coordi- 

 naten x ,y ,z abhängige Gesetz lo , dass dabei das Integral I seinen absolut grössten Werth 



bekommt. 



Hier muss man das gesuchte Gesetz w aus allen möglichen, in Gleichung IV enthal- 

 tenen, Dichtigkeitsgesetzen herauswäblen ; und so zerfällt (nach Analogie des §. 17) die Grän- 

 zengleichung III in folgende einzelne : 



