Anwendung des sogenannten VariationscalcuJt s auf zxoeifache und dreifache Integrale. 111 

 Dieser Gleichung kann man aber noch folgende etwas kürzere Form geben: 



X) ^ü = X . y . c(.3) + X . z .CÄy) + y .z. c,{x] 



+ X . [F,(y) + F,(^)] + ,j . [f,(x) + f,(..)] + z . [f,{x) +/.(^)] 

 Aus dieser Gleichung ergibt sich jetzt 



30) 7? = M^ ^ '^^'•i(^) d:.,(y) , d^sjx) 



d.K.dij.dz dz dy d.v 



und dabei reduciren sich die zwölf Gleichungen (Nr. 7 — 18) auf folgende drei: 



31) :!!ifl) = . 32) "^^^ = . 33) ^'^^ = 



' dz^ ■ ' dir ' dxi 



Daraus folgt durch Integration 



XI) C [z) = K.z ^ K, 



XII) C,{y) =lu.y + IC 



XIII) Cs (x) =h.x ^ K, 



Gleichung X specialisirt sich also noch weiter auf folgende Weise: 



XIV) 10 = (7«i -f lu -T h-i) . xyz -f K^ . xy + IC . xz -\- K^ . yz 



+ X . [F,(y) + F,(.)] + g . [f,{x) + f,(.)] + z . [f{x) + f,(y)] 



Aus dieser Gleichung folgt 



d^ rf„ d, w 



34) f^V = ^^ + ^^^ + ^^3 

 ' dx.dy.dz 



Die acht Gleichungen (Nr. 19 — 2G) reduciren sich also jetzt auf die einzige 



35) Äi -|- ho -f Äg = 



und somit specialisirt sich Gleichung XIV in folgende: 



XV) w = A", . xy + Ko . xz + K^ . yz 



+ X . [Y,{y) + F,(s)] + y . [l{x) + l{z)] + ^ . [f{x) ^ f{y)] 



-r fpiiy^^) + M^^^) + 4'Ä^:y) 



Die Gränzengleichung ist nun weggefallen, während die drei Constanten 



K.. , K, , K, 



und die neun Functionen 



Fr.(y) , ^M , Uix) , U{z) , f,{x) , f{y) , <p.fy,z) , <p,{x,z) , {^„(a?,?/) 



keine Bestimmung gefunden haben. Man kann dieselben also allgemein lassen. Will man sie 

 aber dennoch specialisiren, so können die betreffenden Bedingungen sich über alle sowohl im 

 Innern als auch an der Oberfläche gelegenen Punkte des nach Vorschrift der Aufgabe 



