Anwendung des sogenannten VariationscalcuT s auf zweifache und dreifache Integrale. 113 



Setzt man in den letzten zwo If Gleichungen zuerst a,6,c, und hierauf o-^fi^y bezüg- 

 lich statt x^iy ,z ein; so ergeben sich abermals vierundzwanzig neue Ausdrücke, aus welchen 

 aber diesmal nur acht verschiedene Gleichungen hervorgehen, nämlich 



= 8i(^.c) =g3(a,c) =gaa,6) 



= %Ab,r) =S3(a,r) =3G(a,i) 

 = gi(/5.c) =g,(a,c) =g5(a,/?) 



= g:(/5,r) = 3.(a,r) =a(a,/?) 



= g,(J,c) =33(«,c) = 8-5(«,6) 

 = g.(/?,c)=3,(«,c) -3,(«,/3) 



Dass aber die letzten zwanzig Gleichungen (Nr. 42 — 61) stattfinden, ist ein Ergebniss, 

 welches ganz der Natur des hier vorgelegten besonderen Falles ents])richt; denn 



a) die sechs in den Endpunkten der Coordinaten aj^Zjöj/SiC,;- senkrechten Ebenen 

 schneiden sich in zwölf Kanten; und in jeder dieser Kanten kann nur ein und das- 

 selbe Diehtigkeitsgesetz herrschen, d. h. ein Gesetz, welches (im Bereiche der be- 

 treftenden Kante nämlich) je zweien der sich schneidenden Gränzebenen gemeinschaft- 

 lich ist. Dieses ist die Bedeutung der zwölf ersten Gleichungen (Nr. 42 — 53). Es 

 treffen aber auch 



b) die z w ö 1 f genannten Kanten in acht Ecken zusammen, und in jeder einzelnen die- 

 ser Ecken kann nur eine und dieselbe Dichtigkeit herrschen, d. h. eine Dichtigkeit, 

 welche je dreien der sich treffenden Kanten gemein ist. Dieses ist die Bedeutimg der acht 

 letzten Gleichungen (Nr. 54 — 61). 



Hiermit hat man abermals ein Beispiel, wie die Erscheinungen des Calcul's jedesmal 

 mit den Eigenthümlichkeiten des ihm unterworfenen Gegenstandes übereinstimmen. 

 Sollten die sechs vorgeschriebenen Functionen 



Stücke in sich enthalten, welche noch willkürlich sind; so müssen sie sich so specialisiren 

 lassen, dass die letzten zwanzig Gleichungen erfüllt werden. 



Hinsichtlich des Prüfungsmittels gilt wiederum die am Schlüsse des §.56 gemachte Be- 

 merkung, d. h. es findet ein Maximum statt. 



§• 59. 

 Dritter Gränzfall. Das gesuchte Gesetz der Dichtigkeit soll nur aus jenen Gesetzen 

 herausgewählt werden, welche alle im Bereiche der zwölf, den Coordinatenpaaren 



(a,^-) , (a,y9) , {a,b) , {a , ß) , (a , c) , (a , r) , (« , c) , (« , r) , [b , (^) , [b , r) , (/^ , c) , (ß,r) 



entsprechenden. Kanten bezüglich in die bestimmt vorgeschriebenen Functionen 



übergehen. 



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