Anwendung des sogenanntenVariatmiscalcuF sauf zweifache und dreifache Integrale. 115 



74) ^0,,,,. = %Ac) = %[b) =:' ^-0 (a) , 75) ?«,,,,, = g, (r) = §„(*) = S:a(a) 



76) zo,,,,, = g,(c) = %,{ß) = g„(a) , 77) ^.,,,,, = g, (r) = %Aß) = g,2(a) 



78) w'«,,,. = %,[c) = g,(6) =: % («) , 79) t.,,,,^ = %[r) = a(^^) = g:o(«) 



80) zc„ , , , , = g, (c) = g, 0?) = g„ («) , 81)^,,,,., = g, (;-) = %, iß) = g,, («) 



Um nun das iu XVI aufgestellte Gesetz noch weiter zu specialisiren, rauss man es in 

 die zwanzig Gleichungen Nr. 62 — 81 einsetzen. 



Dass aber die letzten acht Gleichungen Nr. 74 — 81 stattfinden, ist ein Ergebniss, 

 welches ganz der Natur des hier vorgelegten speciellen Falles entspricht; denn 



die zwölf Kanten treffen in acht Ecken zusammen, und in jeder einzelnen dieser Ecken 

 kann nur eine und dieselbe Dichtigkeit herrschen, d. h. eine Dichtigkeit, welche je 

 dreien der sich treffenden Kanten gemein ist. 

 Sollten die zwölf vorgeschriebenen Functionen 



%M , %2{^) , SaCs) , g.(.-^) , %{!/) , Ml/) , %Ai/) , Ui/) , SbH , Sio(^) , 3nH , 3>.(^) 



mit willkürlichen Constanten versehen sein, so müssen diese sich so specialisiren lassen, dass 

 die letzten acht Gleichungen erfüllt werden. 



Hinsichtlich des Prüfungsmittels gilt abermals die am Schlüsse des §. 56 gemachte 

 Bemerkung, d. h. es findet ein Maximum statt. 



§. 60. 



Vierter Gränzfall. Das gesuchte Gesetz der Dichtigkeit soll nur aus jenen Gesetzen 

 herausgewählt werden, die alle in den acht, zu den Coordinaten 



(a,/>,c) , (a,6,;-) , (a , y? , c) , (a, /?,;-) , (<z , <^ , c) , {a,b,r) , ('z,/?,c) , {a , ß , y) 



gehörigen, Ecken bezüglich folgende bestimmt vorgeschriebenen Werthe 



Kj , k, , k^ , K^ , k^ , kg , k-; , A/'g 



annehmen. 



Diese Bedingung ist dargestellt durch die acht Gleichungen 



82) w„,,,, = /j, , 83) ^o,,,,, = ^^ , 8i) to,^^^^,=k, , 85) ?o,.,,,, = A;, 

 86) zo„,,_,=/v5 , 87) 10,^,^^ = k, , 88) ^o„,,ä,,=^^, , 89) to„^-,^^=k. 



Bei dieser Vorschrift muss folgendes System von Gleichungen stattfinden : 



.Diese Gleichungen haben aber keine Rückwirkung auf fjw^^,j^. , (j'to^^^,., etc., wenn 

 von den drei Veränderlichen x ,y , z entweder einer oder zwei noch allgemein sind; und so 

 müssen, damit die Gränzengleichung III vollständig wegfällt, noch die achtzehn Gleichun- 

 gen Nr. 1 — 18 stattfinden. Dabei specialisirt sich das in IV aufgestellte allgemeine Gesetz 



