Anwendung des sogenannten VariationscalcuTs auf zweifache und dreifache Integrale. 117 



103) f^^^^i — r^^-1 =0 



^ \ dx.du ) V dc.dy ) 



,dd,R . ,dd,Ji . 



104) f-i— ) _ f^_) =0 



V dx .dz f a ^ dx .dz J , 

 ,d d R ^ .d d R . 



105) i-^^^-] —{-^^^^) =t» 



V dy.dz •'„^y_, V rf2/.c?s -'s, , ^ , .- 



,dR. ,dR^ ,dR^ / '^, ß X 



1»') ir - Hr - ir + Hr . =» 



'' l ~d^ J„ , V <ij J„ , V rfs J, , ^ *" Ws J^ , ^ 



a , li , ^ tt . ü ^ z a,/3,z a,o,z 



1 U J) iij, ,ß ,r — -'^" > /S > <^ -^a > * . r "'" -"^« ■ « . -^ 



■'^a , ß ,Y + -^J-a ,/?,<: + -^a , 4 , ?• -^a , 6 , r- ^ *-' 



Weil aber -^-^ = "^ "J^ , , -^^ = ' ' ^^ „ , und ^^ = ";./'/ ist; so fallen 



dx.dy dx^.dtj- dx.dz dx^ . dz" dy.dz dy-.dz' 



die drei Gleichungen 103), 104) und 105) hinweg, ohne dass sie zur Speeialisirung des 

 durch Gleichung IV dargestellten allgemeinen Gesetzes etwas beitragen. Dagegen die sieben 

 Gleichungen 90), 91). 92). lOG), 107), 108) und 109) müssen als Bestimmungsgleichungen 

 benützt werden. 



Hinsichtlich des Prüfungsmittels gilt, wie in allen vorigen Gränzfällen gemeldet, die am 

 Schlüsse des §.56 gemachte Bemerkung, d. h. es findet ein Maximum statt. 



§• 62. 

 Andere Gränzfalle, bei denen ebenfalls für die, den Gränzen angehörigen, Bestandtheile 



Wa,,,. : '^a,y,z , ^x , i , z , '^ x , ß , z , l^x^y.c , ^x 



oder 



w. 



,4,2 J ^a,/?,j ) ^"«,4,2 5 ^a,/J,2 ? 



'^&,y,c ) ^'^d.,y,r ' '^'^a,y,c ) '^a,y,r » 

 WJx,4,. 5 ^x,4,r ^ ^x,^,. , ^x,ß,r 



oder 



««a,4,. , ^a,ö,r ' ^a,,},. , «<^a,/S,r ' '^^ a , 6 , c , ^a,i.r ' ^a , ,3 , c , ^^ a , ß , r 



Bedingungen vorgeschrieben sind, kann man sich nach Belieben bilden. 



Untersuchung 14. 

 §. 63. 

 Es sei PF ein reeller, mit den Bestandtheilen 



d,w d w d w d\w d dw d d w d w 



X , y , z . w , -1— I— . , , — — . , , etc. 



' -^ ' ' dx ^ dy ^ dz ^ dxi ' dx.dy dx.dz ' dy^ ' 



