Anwendung des sogenannten Variationscalcul s auf zioeifaclie und dreifache Integrale. 119 



Man kann also diese Bestandtlieile, so oft es zweckmässig ist, auch ausserhalb der Inte- 

 gralzeichen setzen. Es hat aber nicht die geringste Schwierigkeit, dergleichen Untersuchun- 

 gen weiter durchzuführen , und in jedem Einzelfalle das betreffende Prüfungsmittel herzu- 

 stellen. Das Verfahren ist dem analog, welches bei den zweifachen Integralen (§. 23 — 29) 

 bereits zur Anwendung gebracht worden ist. 



§. 64. 



Um jedoch einigermassen in das Verfahren einzuleiten, mag der Fall betrachtet wer- 

 den, wo für die Gränzen durchaus keine Vorschriften gemacht sind. 



Hier muss man zur Bestimmung der Werthe der sechs Bestandtheile a, «,&,y9,c,;- fol- 

 gende sechs Gleichungen zu Hilfe nehmen : 



ß r ß r 



ly) ffw,^^^,.dz.dg = , Y) JJjV,^,^^,.dz.dij = , 



b c h r 



a Y a Y 



VI) f jW^^^,^.dz.dx = Q , VII) j f W,^^^,_.dz.dx = , 



a c a r 



Ä ^ aß 



vni) Jjw^^,^^^.dy.dx = i) , IX) JJw,^,^^,.dj/.dx = 



a fi a i 



Die für n,a,b,ß,c,f gesuchten Werthe müssen aber der Bedingung 



«> a , ß> b , j-^ G 



genügen. Wenn man bei IV und V die doppelte Integration wirklich ausführt, so nehmen 

 dchungen bezüglich folgende Form 



X) F (a , ß ,r) -F' (a , ß ,c) -F' {a ,b ,r) + F' (« , ^> , c) = 



diese zwei Gleichungen bezüglich folgende Form 



und 



XI) F'(a,/^,r)-F'(a,/9,c)-F'(a,6,r) + F' (a , 6 , c) = 



an. Wenn man ebenso bei VI und VII die doppelte Integration ausführt, so nehmen die zwei 

 Gleichungen bezüglich folgende Form 



XII) F"(a,ß,r)-F"{a,ß,c)-F"i^,ß,r) + F"ia,ß,c)^0 

 und 



XIII) F"{a,b,r)-F"ia,b,c)-F"{a,b,r) + F" (a , 6 , c) = 



an. Wenn man endlich auch bei VIII und IX die doppelte Integration ausführt, so nehmen 

 diese zwei Gleichungen bezüglich folgende Form 



XIV) F'"(«./5,/')-F"'(«,Ä,r)-F"'(a,y9,r) + F" (a , & , r) = 

 und 



XV) F" (a,ß , c) ~ F" {a,b,c)- F" (^ , ß , c) + F" (a , 6 , c) = 



au. Die Gleiclnmgen X und XI sind aber einander einerlei, d. h. sie unterscheiden sieh nur 

 dadurch, dass da. wo in der einen das a, in der andern das a steht. Ebenso sind die 



