Anwendung des sogenannten Variationscalcvl s auf zweifache und dre fache Integrale. 121 



/« a 



TF;. ^ . .dx^O , und XXV) Tir,,,,, . dx = 



a a 



möglich sind. Hier liat man die für a und o. gefundenen Werthe als bereits eingeführt zu 

 denken. Sind aber diese beiden nach s identischen Gleichungen möglich , dann sind die 

 Werthe des l> und des ß unabhängig von z. Dasselbe gilt auch von den nach z genommenen 

 Differentialquotienten, und somit sind auch die Gleichungen 



/d fTT ,1 r d ^ 



nach z identisch, und auch in ihnen sind die Werthe des h und des ß unabhängig von z. Man 

 verbinde nun XXIV mit XXVI, und eliminire aus ihnen das : : so ergibt sieh eine Gleichung 



XXVIII) ß = s'(a , a) 



in welcher das ß durch die bereits bestimmten Werthe des a und des a. ausgedrückt ist. Eli- 

 minirt man ebenso das : aus XXV und XXVII, so bekommt man 



XXIX) 6 = C (a , ß) 



wo auch das b durch die bereits bestimmten Werthe des a und des a ausgedrückt ist. Ist nun 

 f(a,''/) vielförmig, so kann man die einzelnen Formen in der Weise vertheilen, dass die 

 Bedingung ßZ>h erfüllt wird. Ist aber C (a,«) nur einförmig, dann ist keine solche Verthei- 

 lung möglieh. d. h. man bekommt 6 = /9, was der Aufgabe widerspricht. 



Wenn nun die Gleichungen XXIV und XXV wirklich nach z identisch sind, so werden 

 auch die Gleichungen VI und VII erfüllt, die zwei Integrationsgränzen c und f mögen sein, 

 was sie wollen. 



Endlich , nachdem man für a , a , 6 , ^J geeignete Werthe hat ausmitteln können, 

 gehe man zu den Gleichungen VIII und IX, und führe bei ihnen die zweifache Integration 

 aus.. Die sich ergebenden Integralgleichungen werden aber einander einerlei sein, und so 

 wird man für c und y auch zwei gleichförmige Ausdrücke erhalten, d. h. man wird im Allge- 

 meinen bekommen 



XXX) ^ = c (a , 6C , 6 , ß) , und XXXI) c = c (a . u ., b , ß) 



wo c und Y durch die bereits ermittelten Werthe a,ot,6,/? ausgedrückt sind. Ist nun c(a,</, 

 b,ß) vielförmig, so kann man die einzelnen Formen in der Weise vertheilen, dass die Bedin- 

 gung Y^c erfüllt wird. Ist aber ${a.,a,b,ß) nur einförmig, so ist keine solche Vertheilung 

 möglich, d. h. man bekommt c = y- "^"^as der Aufgabe widerspricht. 



C) Man hätte aber, nachdem die geeigneten Werthe des a und des a ausgemittelt waren, 

 nicht gerade von den zwei Gleichungen IV und V zu den zwei nächsten VI und VII über- 

 gehen müssen, sondern man hätte auch einen Sprung machen können zu den Gleichungen 

 VIII und IX. Dabei hätte man versuchen müssen, ob die zwei nach y identischen (jleichungen 



a a 



XXXn) f W^„^^. dx = , und XXXIII; /" PF,. „ „ . (/.r = 



a a 



Denkschriften der inafhein.-naturw. CI. XVI. Rd. Abhamll. v. XichtinitsI- q 



