Anwendung des sogenannten VariationscalcuVs auf äweifaclm und dreifache hitegrale. 12o 



zu den Gleichungen VIII und IX vorwärts gehen, und den Versuch machen können, ob fol- 

 gende zwei nach x identisclie Gleichungen möglieh sind : 



y ir.,,,, . dy =0 , und Jw,^,^^^.dy = 



h b 



Aus diesen Gleichungen, wo man die für h und ß gefundenen Werthe als bereits eingeführt zu 



denken hat, bestimme man die Werthe des y und des c. Endlich führe man bei IV und V die 



zweifache Integration aus, und bestimme a. und a. 



Auf diese Weise ist abermals den sechs Gleichungen IV — IX genügt. Man kann aber auch 

 Drittens noch folgenden Weg einschlagen. Man nehme zuerst die Gleichungen VIII 



und IX vor, und versuche, ob folgende zwei nach x und y identische Gleichungen möglich seien : 



11;,,,,= , und TF:,„,,= 



Daraus bestimme man y und c, wie man aus XVI und XVII die Werthe von a und o. bestimmt 

 hat. Hierauf dienen die vier Gleichungen IV — VII zur Bestimmung von a ^ o. , b ^ ß. Das 

 betreffende Verfahren ist bereits mitgetheilt. 



Zweiter Abschnitt, 



wo solche Integrale vorkommen, bei denen die Gränzen der ersten und zweiten Integration Functionen jener 

 Veränderlichen sind, nacli welchen die folicenden Integrationen durcho-eführt werden sollen. 



Untersuchung 15. 



8- 65. 



Es sei IFein reeller, mit den Bestandtheilen 



d,tc d„iv d, 10 d\ w tl^d^ w d d w 



^ 1 y 1 ^ 1 ^ dx '' dy '' dz ^ dx^ ' dx.dy ' dx.dz ' 



versehener Ausdruck; und man sucht für 10 eine solche Function der Veränderlichen x , y ^ z, 

 dass folgendes Integral 



I) JJ := ff I W . dz . dy . du- 



wo c[x,y) und y(x,y) bekannte Functionen von x und // zugleich, dagegen b(x) nnd ß[x) 

 bekannte Functionen von x sind, ein Maximum oder Minimum wird. 



Die Werthe von a und a sind als constant zu betrachten, jedoch mit steter Rücksicht, 

 dass a > a. 



Die Functioiu^n ß[x) und h(x) müssen in solcher Beziehung zusammenstehen, dass bei 

 keinem einzigen der von a bis 0. stetig nebeneinander liegenden Werthe des x die Differenz 

 ß{x) — b(x] negativ wird. Dieses gilt namentlich auch für die beiden Differenzen 



ß (a) — b (n) , und ß (a) — b (a) 



Ebenso müssen die Functionen f(x,y) und c{x^y) in solcher Beziehung zusammen 

 stehen, dass bei keinem einzigen der von a bis a stetig nebeneinander liegenden Werthe des 



