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X die Differenz yix.y) — c(x,7/) negativ wird. Dieses gilt auch namentlicli für die vier 

 Differenzen 



r[a,b (a )] — c [a , 6(a)] , ;- [a , ß (a)] — c [a , /?(a)] 

 r[a,b (a) ]—c[rA,b(a)] , r['y.,ß («) ] — c[a, ß (a ) ] 



Man beachte durch die ganze Untersuchung, dass das vor dem Differential dz stehende 

 z noch keine Function von x und y ist; sondern die Functionen c{x,y) und y{x,y) treten 

 erst dann an die Stelle des z, wenn nach z integrirt worden ist. Ebenso ist das vor dem 

 Differential dy stehende y noch keine Function von x, sondern die Functionen h{x) und ß{x\ 

 treten erst dann an die Stelle des ?/, wenn nach y integrirt worden ist. 



So lange die beiden Veränderlichen x und y noch allgemein sind, schadet es der An- 

 schaulichkeit nicht, wenn man kurzweg h , ß ^c ^y bezüglich statt b{x) , ß(x) , c(x , y) , Y{x,y) 

 setzt. Diese Abkürzungen sind aber unerlaubt, sobald einer der Veränderlichen x oder y 

 specialisirt wird. 



Wenn man auch hier die in der 13'"" Untersuchung (§. 48) vorgeschlagenen Abkürzungs- 

 zeichen anwendet, so bekommt man 



u ß{x)Y(x,y) . 



/* /♦ r rd W d Ow d du- d.ow 



a 4 (x-) c (x , y) 



d' r) w d d du- d d iJ u- "1 



+ (II.0 . -^ + (11:.^) . -^ -f (II:...) .-^^ + ....]. dz. dy. dx 



§. 66. 



Um letzteren Ausdruck umformen zu können, muss man (man vergleiche das bei zwei- 

 fachen Integralen angewendete Verfahren §. 30 — 39) vorerst das unter dem dreifachen Inte- 

 gralzeichen stehende Aggregat in folgende acht Theile umsetzen: 



1. In einen solchen, wo die Differentiation nach den drei Elementen a; , _y , j zugleich 



d^.d,^d,(^xy:) 



durchläuft. Dieser mag durch das Abkürzungszeichen ' = dargestellt werden. 



dx.dy.dz 



2. In einen solchen, wo die Differentiation nach den zwei Elementen x undy durchläuft. 

 Dieser mag durch = " dargestellt werden; und er darf keinen nach z genommenen Diflfe- 



et iJ^ * et Jf 



rentialquotienten des ow enthalten. 



3. In einen solchen, wo die Differentiation nach den zwei Elementen x und z durchläuft. 



Dieser mag durch ''^ dai-gestellt werden; und er darf keinen nach y genommenen Diffe- 



rentialquotienten des oio enthalten. 



4. In einen solchen, wo die Differentiation nach den zwei Elementen y und z durchläuft. 



Dieser maß- durch ' dargestellt werden ; und er darf keinen nach x genommenen Diffe- 



° dy.dz ° ' ^ 



rentialquotienten des öio enthalten. 



5. In einen solclien, wo die Differentiation nach dem einzigen Elemente x durchläuft. 



Dieser mag durch ^ dargestellt werden; und er darf keinen nach y und keinen nach : 

 genommenen Difierentialquotienten des ow enthalten. 



