Anwendung des sogenannten Varmtionscalcid^ s auf zio ei fache und dreifache Integrale. 125 



6. In einen solchen, wo die Differentiation nacli dem einzigen Elemente y durchläuft. 

 Dieser mag durch ^=^ dargestellt werden; und er darf keinen nach a- und keinen nach z 



^•enommenen Differentialquotienten des dio enthalten. 



7. In einen solchen, wo die Differentiation nach dem einzigen Elemente z durchläuft. 



Dieser mag durch '" dargestellt werden ; und er darf keinen nach x und keinen nacli y 



genommenen Differentialquotienten des dio enthalten. 



8. In einen solchen, wo die Urfunction dw gemeinschaftlicher Factor ist, wo also 

 weder eine nach x, noch eine nach ?/, noch eine nach z durchlaufende Differentiation vor- 

 kommt. Dieser Theil mag durch (2") dargestellt werden. 



Der Ausdruck II geht also zunächst über in: 



a b M <■ (j: , y) 



im ,)U= fff\ 



J J J L dx.dy.ds d.v.d;i d-c.dz 



d (i'ar) d (2')/) d (Sz) -1 



j^ -f XJi + jL± + (eA . dz . dy . dx 



' dx ^ dl/ ' rf« ' ^ ^J ^ 



Auch diese Abkürzungszeichen müssen, wie die bei früheren Anlässen gewählten, aus 

 doppeltem Grunde als zweckmässig erscheinen : denn 



1. sie sind mit Merkmalen versehen, welche es möglich machen, dass die Bedeutung 

 und der Ursprung eines jeden dieser Abidirzungszeichen Stetsfort erkennbar bleibt; und 

 ausserdem lassen sie sich 



2. geradezu auch auf die Untersuchungen ausdehnen, wo vierfache, fünffache etc. Inte- 

 grale vorkommen. 



Man beachte -noch, dass, weil c und y Functionen von x und y, und weil b und ß Func- 

 tionen von X sind, es nicht gleichgiltig ist, in welcher Ordnung man integrirt; sondern man 

 muss zuerst nach z, hierauf nach ?/, und zuletzt nach x integriren. 



§. 67. 



Nun muss man den Ausdruck III noch so umgestalten, dass dw nach keinem Veränder- 

 lichen differentiirt ist, nach welchem auch noch integrirt werden soll; und, wie schon einmal 

 bemerkt, es soll, so lange x und y noch allgemein sind, kurzweg c und ;- statt c(x , //) und 

 j-{x ,y), und ebenso b und j3 statt b{x) und ß{x) gesetzt werden. 



ry^y^'''^d,{I.) . . , . 



51) Der Theilsatz / / / =^= . dz . dy . dx lässt sich ohneweiters nach r integriren, 



a 6 (x) c(x , y) 



und liefert die Gleichung 



I^'^ Jj j ^.dz.dy.dx=J I [{Iz)^^^,,-{Iz)^,„,.].dy.dx 



iB) Für den Theilsatz / / / ===== . dz . dy . dx bediene man sich des folgenden 



aus dem Integralcalcul bekannteu Satzes: 



