130 G. W. Strauch. 



"a -4(x) 





'' U ^ ' d^ Jdx.dy ' l rfs ' d7^ J (ix ' rf;/ \^ 



d, (2'a; 2/ s) (i^ rf^ c .d,{Ixy) d^ {I.v yz) d^c d^ i 



\ ^' ^ dz ) dj-.dy ^ \ dz ^ dz- ) dl- dy (,.„,. J "^ 



+ fj J {I) . dz . dy . dx 



a ß{.c) Y{x,y) 



a f> (j) c [x , (/) 



§. 69. 



Nun darf das dw nach keinem Veränderlielien differentiirt sein, nacli welchem auch nocli 

 integrirt werden muss. Man weiss aber (aus §. 66j: 



1. Bei den, unter den beiden einfachen Integralzeichen / und / stehenden Aus- 



4 («i h (a) 



drücken [Sxy) und [Sxyz) können Differentialquotienten des die vorkommen, welche nach 

 y genommen sind. 



a 



2. Bei den, unter dem einfachen Integralzeichen / stehenden Ausdrücken [Sxy) ,[Ix.z)^ 



a * 



(Sxyz) können Differentialquotienten des dio vorkommen, welche nach x genommen sind. 



3. Bei den, unter den beiden doppelten Integralzeichen / / und / / stehenden, 



Ausdrücken {Sx) und {Sxy) können solche Differentialquotienten des dto vorkommen, welclie 

 nach x, aber keine solche, welche nach z genommen sind. 



4. Bei den, unter dem doppelten Integralzeichen / / stehenden Ausdrücken [Ix] ,[Sy), 



a 'J (x) 



{2!xy) , (Ixz) , {Syz) und (Ixy.z) können solche Differentialquotienten des dw vorkommen, 

 welche nur nach x, oder solche, welche nur nach //, oder solche, welche nach »■ und y zu- 

 gleich genommen sind. 



In dergleichen Fällen muss man die betreffenden Theilsätze (nach Anleitung des §. 7) 

 abermals umformen, bis kein dw mehr nach einem Veränderliehen differentiirt ist, nach wel- 

 chem auch noch integrirt werden soll. (Man vergleiclie §. 38.) 



Die hiesige ganz allgemein gehaltene Untersuchung wird in der nun folgenden (§. 70 

 und 71) und im Nachtrage (§. 91 und 94) noch näher specialisirt werden. 



Untersuchung 16. 



4;. 70. 



Es sei TU ein reeller, mit den Bestandtheilen x , // , z , w , — — — ^. ^— versehener Au.s- 

 druik; und man sucht für lo eine solche Function von x , y , z, dass folgendes Integral 



