Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zweifache und dre fache Integrale. 131 

 I) U = ff f W. dz . dy . dx 



a [x] c (x , y) 



wo h {x) , ß {x) , c (x , y) , ^ (ic , ?/) bestimmt vorgeschriebene Functionen der betreffen- 

 den Veränderlichen sind, ein Maximum oder Minimum wird. 

 Hier bekommt man zunächst 



II) ^U^jj I [-^dw + (lx)^+ily)J^+iUl^].d..dg.d 



Daraus folgt weiter 



lll) u —JJ J [ d^ + dy ^ dz 



a b {x) c (x , f/) 



dJV djl.v) d,,(ly) dJU) , 1 , , , 



I — ; , — ^^= — ^=^ ] . oic \ . dz . aij . dx 



\ dta dx ibj dz J \ "^ 



Wenn man diese Gleichung mit Gleichung III der vorigen Untersuchung vergleicht, so 

 erkennt man, dass 



{Ixyz) = , (Sxy) = , ( V'^^) = , (2'?/.3) = , 

 [Ix] = (la') . dw , [ly) = (ly) . dw , (2^^) = (Is) . dw 



und 



^v) _ f'^"^" ^^^^-"^ ^'-'^^^^ '^-•^^"^ > 



' V dw dx dy dz ' 



ist. Die allgemeine Foi'mel XII der vorigen Untersuchung geht also diesmal über in 



IV) dU = j J (la^)«,,,,, • o^ü«,,,, . dz . dy—f J (Ix-),,,,, . «w,,„,_. . dz . dy 



""6 (a) '• (a , v) *'* (a) c (a , '/) 



+ /"( ((I,/)_(Ix)|) .dw^,,,^.dz.dx-ff ((I^)_(Ix)3 ..7z«,,,,,..rf^.fZx- 



a r {X , fi) n c(x , 6) 



aß(x; 



^JJ[[{l^)-{ly){^~{lx)^)^^^^.oyo^,,^,^({lz)-{ly)^-{lxi^)^^^^^^ 



a b {x) 



«.(.,.(.,,„, ,^,. ^^^^^^ ^^^^j^^ ^^^j^ .7,7 



+ 111 I == — =^ — ■ \ . aw . dz . dy . dx 



' J J J \_ dw dx dy dz } 



a 6 (x) c (x , v) 



Das unter dem dreifachen Integralzeichen stehende Aggregat liefert die Hauptgleichung 



<^,."' " (^.(I^) <*„(I5') '^.-(I*) 



V) ^ 



w d.v dy dz 



= 



welches dieselbe ist, wie in der 13"" Untersuchung, wo alle sechs Integrationsgränzen con- 

 stant waren. 



Alle mit den zweifachen Integralzeichen versehenen Theilsätze der (Jleichung IV bilden 

 zusammen die Gränzengleiehung. 



