Anwendung des sogenannten VariationscalcuVs auf zweifache und dre fache Integrale. 135 



VIj oy^x.y] . r)c(x,'i/) , (ry^x .y) , d-c{x,y) , etc. etf. 



durchaus keiner Bedingung zu geniigen. Hier sind die in IV aufgestellten sechs Ausdrücke 

 dem Werthe nach ganz unabhängig von einander, obgleich sie aus einer und derselben 

 Function dw^ _ „ , herstammen. Das Nämliche gilt auch von den sechs in V aufgestellten 

 Ausdrücken, obgleich auch sie alle aus einer und derselben Form f)'Wj. „ , herstammen. 

 Und so fort. 



Dabei wird der Gränzengleichung nur genügt,'wenn folgende acht Gleichungen 



1) (Irr)„,,,,= () , 2) (I^),,,,^_(I.r),,,,,.-|=ü , 3) W:,„,,= 0, 



4) (ixX,,,..= o , 5) (i^v).,*,.-(i^).,*,.-^ = o , 6) n:,„,,= o, 



8) (I^).,,.. - {Igh,,,.. ^ - (I^).,,,. . ^ = 



stattfinden. 



In den zwei Gleichungen 1) und 4) ist x constant; sie sind aber nach i/ und z identisch 

 und müssen, wenn sie Differentialgleichungen sind, als partielle Differentialgleichungen nach 

 y und z behandelt werden. 



In den zwei Gleichungen 2) und 5) ist ß(x) und h (x) an die Stelle des ?/ getreten; sie 

 sind aber nach x und s identisch, und müssen, wenn sie Differentialgleichungen sind, als 

 partielle Differentialgleichungen nach x und z behandelt werden. 



In den zwei Gleichungen 7) und 8) sind c(x ,g) und ]r(x ,i/) an die Stelle des z getreten; 

 sie sind aber nach x und ?/ identisch, und müssen, wenn sie Differentialgleichungen sind, als 

 partielle Differentialgleichungen nach x und ?/ behandelt werden. 



Schaut man jedoch noch eimnal auf die Gleichungen 7) und 8), so sieht man, dass 

 daselbst die Differentialquotienten der noch unbekannten Functionen c{x,y) und yix^y) vor- 

 kommen. Durch Elimination dieser Quotienten wird jedenfalls einige Bequemlichkeit gewon- 

 nen für den noch rückständigen Theil der Untersuchung. Nun sind aber auch die Gleichungen 

 3) und 6) nach x und y identisch; und desshalb sind auch ihre nach x und y genommenen 

 partiellen Ditferentialgleichungen identisch Null, d. h. man hat auch 



,d\\\ ,d \\\ d r ,d n\ , d, \\\ d, c 



1" Hr +(— ) ■i: = » . 1-^) (tt). +(Tr), -i^" 



d Y d y d ,c d^ c 



Eliminirt man letzt — , -^ , -^ , -^; so gehen 7) und 8) bezüglich über in 



'' dx dy dj; rfy . ° ' ' ° 



d ^^\ , rf 'i\ , d, w 



13) ((!-)•=) ^(it^^/)-=7r) +(^i-^)-=ir) =^' 



U) (1.).=^) +((ij/).=) +((i..).— ) =0 



Die Symmetrie der beiden letzten Gleichungen ist beaehtensAverth. 



