Anwendung des soge:nannten Variationscalcul's auf zweifache und drefache Integrale. 137 

 bezügiieli statt 



Ws J^ „ ^ l dw i ' V rfj j ' \ dw ) 



setzt; so nimmt das für diesen ersten (Iränzfall sich ergebende Prüfungsmittel endlieli folgende 

 Form an: 



S{a) r(a,r,) ^(a) /(a.;/) 



VII) 3:'U==f J r^,,„^,.dtcl^_,.dz.dy-f J rj^^„ ^ ^ . diol^,, , ^ . dz . dy 



''b(a) €{a,y) 4 (a) c (a , ;/) 



a''f(-i:,/5) ^ ' f ' ■ ^ '■(x.h) ^' '" 



a « (rj ' 



I , d (iJw ] d (1)11' \ ^ - 



Cr r V ,djw d dw ddw '^ 



a «(.r) r(x,y) 



.däw d dw 'i ,djic 2t 



Mit diesem Ausdrucke muss aber bekanntlich noch foloende Gleichung- 



d Ti d aj d X 



VIII) L — — ^ _i_ _ 91 . 2)2 _ @ . @2 _ ^ _ c^2 ^ , 



' (io rf;/ dz ^ 



verbunden -werden; und mau erkennt, dass, wie in der 13'™ Untersuchung (§. 49 — 53), 

 so auch hier, zwei der drei Stücke :y , w , A willkürlich sind. 



Die Bedeutung von L , 21 , ,S , g , 3) , ® , g , © , ^ , 3 ist bereits (aus §. 40) bekannt. 



Weil nun von den di-ei Stücken yj ^ oj , k zwei willkürlich sind; so lasse man rj und co 

 kurzweg zu Null werden. Dabei reducirt Gleichung VIII sich auf 



IX) L— !^— 91.35^— (S.®^^— f).3^' = 



und wenn man diese Partialdifferentialgleichung integrirt , so ergibt sich für ?i ein aus x , y , 

 z , TT (x , y) zusammengesetzter Ausdruck, w^o tt (x , y) eine ganz willkürliche Function von 

 X und y ist. Aber eben diese in A enthaltene willkürliche Function tt {x , y) kann man nach 

 der bald so bald so genommenen Function dw auch jedesmal bald so bald so einrichten, dass 

 die nach x und nach y identische Gleichung 



Denkschriften der mathem.-iiaturw. Cl. XVI. Bd. Abbandl. v. Nichtmitgl. .s 



