Anwendung des sogenannten Variationscalcul s auf zweifache und d.refache Integrale. 139 



dortigen zweiten (§. 43). Desshalb mag die weitere Durchführung unterbleiben, und zwar 

 um so mehr, als grade die beiden nächsten Aufgaben sich mit Anwendungen des hiesigen 

 zweiten Gränzfalles befassen. 



Aufgabe 2. 

 §• 76. 



Man hat einen Körper, der von zwei in den Endjjunkten der Abscissen a und a senk- 

 rechten Ebenen , ferner von zwei auf der Coordinatenebene X Y senkrechten Cylinder- 

 mänteln y = b{x) und i/=ß(^x), und endlich von zwei vorerst noch unbekannten Flächen 

 z = c (if , ?/) und z=zf[x,t/) begränzt wird. Welches ist nun das Dichtigkeitsgesetz ic r^ 

 (f{x,y,z), dem der unsern Körper ausfüllende Stoff unterworfen sein muss, wenn sich das- 

 selbe im Bereiche der beiden noch unbekannten Oränzflächen auf folgende hestinuiit vorge- 

 schriebenen Functionen 



I) e =./■' {x , y , z) , und II) s = /" (x , // , z) 



specialisirt, und dabei das über die ganze Ausdehnung unseres Kör})Prs erstreckte Integral 



ein Minimum wird? . 



Die Bedingung, dass das gesuchte Dichtigkeitsgesetz w = (ffx,y^z) im Bereiche der 

 beiden Gränzflächen sich auf die beiden vorgeschriebenen Gesetze specialisiren soll, ist aus- 

 gesprochen durch folgende zwei Gleichungen 



IVj <f {x , y , r) =f' {x , y , <■) , und V) (p {r , y , y) =/" (:r , // . /') 



oder kürzer diu'ch 



VIj to, „ ,. = e^. „ ,. , und VIIj w, , „ .^ =£,,„. , 



§- ''■ 



Wenn man zur Bequemlichkeit jetzt p , f , r bezüglich statt -^ , -—- , ~— setzt; so 

 nimmt die sich ergebende Hauptgleichung folgende Form an: 



d d w d d ir 



X 1/ 



VIII) il+q^ + r^).^-2pq.—^-2pr 



dx^ ^ ^ dx.dy d.r.dz 



d" w d d to d'i tc 



Unter den verschiedenen besonderen Integralen, welche dieser Partiahlifferential- 

 gleiclmng genügen, befindet sich auch folgende Urgleichung 



IX) 10 = k' . X + k" . y + k'" . z -\- k"" 



Es muss jedoch das allgemeine Integral mit seinen willkürliclieu Functionen noch 

 aufgesucht, und an die Stelle dieses besonderen gesetzt werden. 



