Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zioeifache und dreifache Integrale. 141 



specialisiren. 



Hier hat man ausser den zwei Gleichungen TV und V noch folgende vier: 



7) ^{a,g,z) = %,{tj,z) , 8) ^ {a ,ij , z) = ^,{tj , z) 



9) ^{x,b[x],z)=%{x,z) , 10) <p{x,ß[x],z) = %,{x,z) 



Aus diesen vier Gleichungen, wo das z noch ganz allgemein ist, folgt: 



9 o\o^ , „ , „ = , o\o„ , , , , = . d' ?o, , , , , = , d' ^o„ ,„,,=: , etc. 

 5 o'w^/,,_ = () , dio^ ^}.= , f)''to^.i,,=:0 , d'to^iJ_^=^ , etc. 



Mat hat also diesmal die vier Gleichungen Nr. 7 — 10 mit den beiden Nr. 5 und 

 Nr. 6 zu verbinden, um die in w eingegangenen willkürlichen Stücke zu specialisiren. So- 

 dann dienen wieder die beiden Gleichungen IV und V, um die Functionen c(x , p) und j-(x ,;/) 

 zu bestimmen. 



Und so fort. 



§. 80. 



Dritter Gränzfall. Es soll zu den im vorigen Falle gestellten Gränzbedingungen 

 noch diejenige hinzukommen, dass der Unterschied der durch c(x,p) und y{x,y) darge- 

 stellten Ürdinaten den bestimmt vorgeschriebenen Werth 7v behalte. 



Letztere Vorschrift führt zu der Gleichung 



11) y{;x ,y) —c{x,y)=^ K 

 und daraus folgt 



12) 3r{x,y)^dc{x,y)=.Q 



1 3) ()y (X , y) — d-c {x,y) = {) 

 und so fort 



Man gelangt also liier wieder zu den Gleichungen 9 und 5 , und statt der beiden 

 Gleichungen 5 und (3 liat man jetzt nur folgende einzige Proportion 



, d w d s d w d„£ d 10 d e ^ , 



, d IV d e d w d e d lo d e ^ /- — 



dy dy _.. ..,. - ^ j, 



welche mit den fünf Gleichungen Nr. 7 — 11 verbunden werden muss, um die in lo 

 eingegangenen willkürlichen Stücke zu specialisiren. Sodann dienen die beiden Gleichungen 

 IV und V zur Bestimmung von c {x , y) und ;- (x , y). 



Aufgabe 3. 



§.•81. 



Man hat einen Körper, der von zwei in den Endpunkten der Abscissen a und a senk- 

 rechten Ebenen, ferner von zwei auf der Goordinatenebene X Y senkrechten Cylindermänteln 



