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y = b{x) und ij=^ß(x)j und endlich von zwei vorerst noch unbekannten Flachen ?=rr-(x,?/) 

 und z = ]r{x , y) begränzt wird. Welches unter allen jenen Dichtigkeitsgesetzen, die nicht nur 

 im Bereiche der beiden noch unbekannten Gränzflächen sich auf folgende bestimmt vorge- 

 schriebenen Functionen 



I) ^ =/' (a- , i/ , ^) > ""d II) £ =/" {x ,y , z) 



specialisiren, sondern auch zwischen den fragliehen Gränzen einerlei Masse liefern, ist es nun, 

 bei welchem das über die ganze Ausdehnung unseres Körpers erstreckte Integral 



™^ ^'-JI J r' + i-^)+ (ir) +(-)]• ^^^ • ^^.'^ • '^- 



ein Minimum wird? 



Unseres Körpers Masse wird geliefert durch das Integral 



IV) / / / 10 . dz . dy . dx 



wo w = ^ {x , y , t) das gesuchte Dichtigkeitsgesetz ist. 



Die Bedingung-, dass das gesuchte Dichtigkeitsgesetz im Bereiche der beiden Gränz- 

 tiächen sich auf die beiden vorgeschriebenen Functionen I und II specialisire, ist ausgespro- 

 chen durch folgende zwei Gleichungen 



V) ^(x ,y , c) =f {x , y ,c) , und VI) <p (x , y , r) = f" i-r , y , r) 



oder kürzer durch 



VII) zo, , ,, ^ . = e, ^ ^ _ , , und VIII) ««.,,,, ^ =£.,,. , 



Wenn man jetzt die Bedingung, dass das Integral IV unter allen Umständen einerlei 

 Werth behalte, durch die sogenannte Multiplicatorenmethnde in Rechnung bringt; so gelangt 

 man zu folgender Hauptgleichung 



d' u- d d w 



IX) .v/(l+^^ + y^ + ,-T=<l + ?^ + -)-ir-2i^?-i:^"2;: 



drß -* ^ dx.dy ilr.dz 



d' w d d le d w 



d^ w d^w d,w 



wo jj , q , r zur Bequemlichkeit statt , — ^ , — geschrieben worden ist. 



(t .1' ^'2/ et z 



Unter den verschiedenen besonderen Integralen, welche dieser Partialditfereutial- 

 gleichung genügen, befindet sich auch folgende Urgleichung 



X) (x — ky + (?/ — k"y + {z — k"'y + (^« — k""y = 9 . m- 



Es muss iedoch das allo-emeine Inteß-ral mit seinen willkürlichen Functionen noch 

 aufgesucht, und an die Stelle dieses besonderen gesetzt werden. 



Nun sind wir auf dem Punkte, hier ebenso, wie in der vorigen Aufgabe, verschiedene 

 Gränzfälle aufzustellen; es mag aber an folgendem einzigen genügen. 



