AnwendiDig de.s sogeiianntcii- ]'an'ati())ist<tlcur,s auf zweifache uiul dreifache Infegra/c 143 



§• 8.^- 

 Spezieller Gräiizfall. Das gesuchte Diclitigkeitsgesetz soll aus allen möglichen 

 herausgewählt werden, welche fähig sind, den drei, durch die Gleichungen IV, V, VI aus- 

 sproehenen und für die ganze Aufgabe geltenden Hauptbedingungen zu genügen. 



Wenn man hier p' , q' , r' , p" , q" , c" bezüglich statt ^^ , £ , ^ , jl , £ , -f^ setzt ; 



so zerlegt, sich die Gräuzengleichung jetzt in folgende einzelne: 



XI){^)__ = , XII, (^)_^,_-(^)_^ .i=o 

 xni, r-S) =0 , xiv,(if) ^ -fy^ .^ = « 



XV) w^ , „ , ^ + ( '" ^ ^ . ( 1 + ^j . p" + 7 . q" + r . r")) = 



XVI) i«..,„..+ (-=^^===.(1 +i^.p' +V.q' -f r.x')) =0 



Die Symmetrie der beiden letzten Gleichungen ist beachtenswerth; und sie sind jenen 

 analog, die sich ergeben, wenn man unter allen Flächen, welche zwischen andern Flächen 

 einen gleichgrossen Körperinhalt begränzen, diejenige heraussucht, die die kleinste Aus- 

 dehnung hat. 



Die sechs Gleichungen XI — XVI dienen dazu, um die in w eingegangenen willkür- 

 lichen Funetioneu zu specialisiren; und hierauf bestimmen sich die Functionen c (a? , ?/) und 

 y{x ^y) aus den Gleichungen V und VI. 



Aufgabe -t. 



§• 84. 

 Man hat einen Körper, der von zwei in den Endpunkten der Abscissen a und a senk- 

 rechten Ebenen, ferner von zwei auf der Coordinatenebene X Y senkrechten Cylindermänteln 

 y = b{x) und y =/5(a;) , und endlich von zwei vorerst noch unbekannten Flächen z! = c[x ^y) 

 und z!' =ly[x ^y) begränzt wird. Wenn nun für letztere zwei Flächen vorgeschrieben ist, dass 

 iiire Ausdehnungen zusammen den bestimmten Werth Ji" haben sollen; welchem Dichtigkeits- 

 gesetze muss der unsern Körper ausfüllende Stoff unterworfen sein, damit folgendes über die 

 ganze Ausdehnung unseres Körpers erstreckte Integral 



ein Minimum wird ? 



Der Umstand , dass die Ausdehnungen der beiden Gränzflächen zusammen den be- 

 stimmten Werth K haben sollen, führt auf die Gleichung 



