Anwendung des sogenannten Variationscalcut s auf zweifache und dre fache Integrale. 145 



, d^w , , d to . d Y , d u- d Y 



X ■, y , Y ^ £ , y , Y ^ x , y , y 



f/, IV . il^ w d^c d^ w , d^,c 



^ ^ \ d^ ) ' V dt/ ) ■ T/T l d.v^ ) ' dx 



X , >/ , c J X , y , c *' X , y t c 



, ■ ,'l^%" d,,^' 



XI) ,l/ll.p^' + ^-^ + /^„„,-sJi.(=^ + ^=)=0 . 



™) (^) =^ ' ^i^) (i) -(-^)_-i = ^ • 



x,ß ^ "•■'■ 'x,ß 



■''■«'■' \ ('^x'^\ des 



W«i/ J^ , ^ dx )^^ 4* rf* 



1 I. ,i X. fi 



Die sechs Gleichungen Nr. V — X werden dazu verwendet, um die in w-~^{u-,g,z) 

 eingegangenen willkürlichen Stücke zu specialisiren. 



Durch Integration der Gleichung XI ergibt sich s"=/-(.t,?/) mit zwei willkürlichen 

 Functionen, zu deren Specialisirung die vier Gleichungen Nr. XIII^ — XVI benützt werden. 



Durch Integration der Gleichung XII ergibt sich z'=c{x,y) mit zwei willkürlichen 

 Functionen, zu deren Specialisirung die vier Gleichungen Nr. XVII — XX benützt werden. 



Bezeichnet man durch E" und W zwei zusammengehörige Krümmungshalbmesser irgend 

 einer Fläche, die der Gleichung XI genügt; so geht diese Gleichung über in 



XXI) ^ + ^ = + -^ . (V/l+/ + ^T~?-l ,„.r 



ßezeicimet man ebenso durch /?' und JH' zwei zusammengehörige Krümmungshalbmesser 

 irgend einer Fläche, welche der Gleichung XII genügt; so geht diese Gleichung über in 



1 1 



XXII) ^,4 -- = ----. (V^l+^^+?'^ + r^).,,,. 



Durch die beiden Gleichungen XXI und XXII ist aber die Beziehung ausgesprochen, welche 

 zwischen der Krümmuno: einer der Gränzflächcn und zwischen dem in ihr herrschenden 

 Dichtigkeitsgeset'/e stattfindet. 



§. 86. 



Würde man das, durch Gleichujig IV dargestellte, Dichtigkeitsgesetz gelten lassen; so 

 würde sich dieses, weil es den sechs Gleichungen Nr. V — X genügen muss, auf 



XXIII) 10 = k"" 



reduciren, d. h. die Dichtigkeit wäre durch den ganzen Körper hindurch gleichförmig. Dabei 

 ist derWerth des Integrals I unabhängig von dem Dichtigkeitsgesetze lo—k"":, und die Glei- 

 chungen XI und XII reduciren sich bezüglich auf 



Uciikt-cliriltfii Hur iiiaüifin -naturw. Cl. XVI- Bd. Abhandl. v. Xichtmitgl. 



