Anwendung des sogenannten Variationscalcal's auf zweifache und dreifache Integrale. 147 



Die Bedeutung von (MF ist aus Gleichung III der 14'™ Untersuchung (§. 63) bekannt. 



Weil die nach y und j auszuführenden Integrationen unabhängig sind von *a , Ha, 

 ifa, , *'-«, etc.; so kann man diese Bestandtheile auch vor die Differentiale dg und dz setzen. 

 Weil ferner die nach z auszuführenden Integrationen unabhängig sind von rjb{x) , oß{x)^ 

 (fb(x) , (fj3(x), etc.; so kann man diese Bestandtheile auch vor das Differential dz setzen. 

 Gleichung II gestaltet sich also jetzt auf folgende Weise: 



,/> ('<) ./'(«,!') ,5 (a) r (a , y) 



lii) o'U=f j W^,„^,.,</a.dz.dg-fJ TT;,,,.,..^a. ./,... /j 



' 4 fa) "■ c (a , y) *" 4 (a) c (a , i/) 



+ 11 W, . ,j , . • oß .dz.dx— j W, , , , „ . ,7b . dz . di 



"a ''c (x , f>) a. "r (jc , b) 



jj [W^,„,r- 'h - TF,,„... .;c] . dg . dx 



M r (x ,y) 

 / dW. dz . dg . dx 



a {x) 



a ß{x) r {x , v) 



n i {x) r (x , y) 



Die Bedingungen der jedesmaligen Aufgabe werden anzeigen, ob man von der Formel II 

 oder III Gebrauch zu machen habe. 



Die ferneren Umformungen, welche man mit dem dreifachen Integral 



ff I dW . dz . dg . dx 



a 4 (x) n (x , y) 



noch vorzunehmen hat, sind bereits in der 15'*" Untersuchung (§. 65 — 69) ausgeführt. Man 

 beachte dabei besonders den Inhalt des §. 69. 



Untersuchung 20. 

 §. 89. 

 Um jedoch die vorige Untersuchung einigermassen zu specialisiren, mag TFein reeller. 



d w d w d^ w 



mit den Bestandtheilen x ,y , z ,io , — ^ , -^ , ^— versehener Ausdruck sein. 



' '^ ' ' ^ dx ^ dij ^ ds 



Bezeichnet man, wie gewöhnlich, so auch diesmal die zu 



d 3 w li, '5 » d^S w 



dx ' dy ' dz 



gehörigen Factoren bezüglich mit 



(I^-) , (Ij/) , (I'S) 



und führt man die gehörigen Ti-ansformationen aus ; so bekommt man zunächst 



