Anwendung des sogenannten Varidtinnscalcid s auf zxoeifache und dreifache Integrale. 1 49 



analog, welches ich in der 12'"' Untersuchung (§. 45 — 47) bei zweifachen Integralen ange- 

 wendet habe. 



§• 90. 



Hiermit mag nun auch die Reihe der Untersuchungen . welche auf dreifache Integrale 

 führen, und welche sich noch sehr vermehren lassen, geschlossen werden; denn alle dabei 

 vorkommenden Eigenthümlichkeiten sind, wie man zur Genüge erkannt hat, denen analog, 

 welche bei den auf zweifache Integrale führenden Untersuchungen bereits erledigt sind. 



Ebenso hat der Übergang- zu solchen Untersuchungen, welche auf vierfache, fünffache 

 etc. Integrale führen, jetzt nicht den mindesten Anstand mehr; und auch für solche ist durch 

 das Vorhergehende jede erforderliehe Anleitung gegeben. Dass aber dergleichen Unter- 

 suchungen, namentlich wenn nicht alle Integrationsgränzen eonstant sind, einen sehr grossen 

 Raum einnehmen, das bedarf kaum der Erwähnung. 



Nachtrag. 



§• 91. 

 Ich habe jetzt, wie schon im Anfange dieser Abhandlung (§. 1) angedeutet wurde, noch 

 nachzuweisen, dass die von Sarrus, Cauchy und Delaunay mitgetheilten Resultate 

 ihrem Gegenstande nicht genügen. 



T. A b li a n d 1 u n g v o n 8 a r r u s. 



Diese führt den Titel: „Recherches sur le caleiil des variations", und befindet sich in 

 dem mit der Jahreszahl 1848 versehenen Bande X der Mömoires prösentös par divers 

 savants ä l'acadömie des scienees. Seite 1 — 128. 



Sarrus gründet seine Resultate darauf, dass er ein eigenthümliches Substitutionszei- 

 chen einführt. Nemlich: 



1. Wenn u eine Function von x ist, und dem x der feste Werth a beigelegt wird; so 

 schreibe ich u^. Sarrus aber schreibt H^^- 



2. Wenn u eine Function von x und ?/ ist, und diesen beiden Veränderlichen bezüglich die 

 festen Werthe a und b beigelegt werden; so schreibe ich u^,,. Sarrus aber schreibt 'X'~\:,u. 



3. Wenn u eine Function von x , y , z ist, und diesen drei Veränderlichen bezüglich die 

 festen Werthe a , 6 , c beigelegt werden; so schreibe ich m^,^,^- Sarrus aber schreibt n^n^H-«- 



, Undsofort. 



Die nächste Folge dieser Bezeichnungsweise ist, dass Sarrus viele Theilsätze, welche 

 ich unter ein und dasselbe Integralzeichen bringe , von einander trennen, und unter abge- 

 sonderte Integralzeichen setzen muss." Davon ist die weitere Folge, dass die Sarrus'schen 

 Formeln unfähig sind, jene Probleme zu lösen, wo verschiedene Gränzbedingungen in Rech- 

 nung gebracht werden sollen; und so kann man mit diesen Formeln nicht einmal jenes eni- 

 faehe Problem lösen, wo die „kleinste Oberfläche zwischen veränderlichen 

 Gränzen" gesucht wird. (Man vergleiche die Anmerkungen, welche ich zu §. 26, 29, 43, 

 44 und 47 gemacht habe.) 



