Anwendung des sogenannten VariationscalcuTs auf zweifache und drefache Integrale. löH 



/• /• /• r , d„w d d d i- d d d le ^ 



lY) ,) ü= / 1 — .^^ ' " -' 1 . <Jr 



^ } I J \_\ dv dx . dy . dz dx . dy . dz J 



a fj (x) r {x , >i] 



/ d (f te ^ \ / d d w „\ , d (I w „\ 



dJ=S=^=.df] d ( '■ ' ■ f? » dl '« . ün] 



dx dy dz 



M/(^'^^'0 'h^.C^^^) ^M'=i^^) dJ,d^{^c.,Uy\ 

 — = — ^— — ^^= — =^=^=^== 1- " \ . dz . (1 1/ . ilx 



dx . dy dx .dz dy. dx ' dx .di/.dz J ' 



Wenn man letztere Form mit Gleichung III der 15"" Untersuchung (§. 60) vergleicht: 

 so erkennt man, dass diesmal 



d 10 



{l'xyz) = w.r}v , (Ixg):r=—^d?.> , (Sxz) 



d d w d d w d d w 



dy.dz \ ^ ,;,. (^^ . / dx . dy 



ist. Diese acht Ausdrücke substituire man jetzt in die allgemeine Form XII der 15'"" Unter- 

 suchung (§. 68), und reducire soviel als möglich. Zugleich setze man, so lange x und g nocli 

 allgemein sind, b , ß , c ,f bezüglich statt b{x) , ß (x) , c (x , ?/) , ;- (.x , ?/) , welche Abkürzungen 

 natürlich nicht mehr angewendet werden dürfen , sobald von den zwei Veränderlichen x und 

 g einer oder alle beide specialisirt sind. So verfahrend bekommt man 



. d U' ad o,r d d d w 



r ,'• r , d w d d d V dd. d, w . 



V) f)U= / / / {J!-.^J^ ^i^) . o\, . dz . dy . dx 



' I J I \ de dx .dy . dz dx .dy.dz J 



J J \\<^^-'^y K,„,r'^^^''''"'^ ^ '^■"■''^ dx ' dy '^ dy ■ dx 



x /-'^''''x ''^r ''„r (<-z — \ 



' .■ 1, -A r II V ^ 



a 6 {c) 



dd.w^ , ddc d w de d w d 



dz dx dy }^ ,j.^ ^_„ y 



Kd^dy J^ „ f "'-^'^'"'^ \^ dx.dy '^ dx ' dy ^ dy ' dx 



dw de de. fdSv. de de d\d v n 



^ dz dx dy 1^ „ ,. ^. dz J^ ^,. "■'•'' '- dx dy \ dz^ )^ ^ ,^ ^ ,. J ^' 



a c (x,fl) 



a c {x , ö) 



/S(a) y{a,y) 



r r , d d w ., ,, 



b (a) c (a , !/) 

 „/3 (a) / (a , ») , , 



a r i-' ■ fl) 



ä (a) o (a , !/) 

 Denkschriften der mathem.-naturw. CI. XVI. Bd. Abband), v. Nichuuitgl. 



